Uma empresa monitora milhares de regulamentações referentes a integridade estrutural e as restrições de interior. Uma regulamentação sujeita a crescente escrutínio é a altura das sacadas em edifícios comerciais. Uma sacada tem em média 15 metros acima do chão com um desvio padrão de 5 metros. Um inspetor seleciona uma amostra de 40 sacadas de edifícios em torno da cidade, qual a probabilidade de que a média de altura seja maior do que 15,5 metros?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
Informações fornecidas:
A média populacional das alturas das sacadas é \mu=15 metros.
O desvio padrão populacional é \sigma=5 metros.
O inspetor seleciona uma amostra de tamanho n=40.
Pergunta que o enunciado faz:
Qual é a probabilidade de que a média amostral seja maior do que 15,5 metros, isto é, calcular P\big(\overline{X}>15,5\big).
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática).
Aqui precisamos da distribuição da média amostral \overline{X}. Mesmo que a distribuição das alturas individuais não seja especificada, como o tamanho da amostra é relativamente grande (n=40), podemos usar o Teorema Central do Limite (TCL), que diz que a distribuição da média amostral fica aproximadamente normal para amostras grandes.
O TCL permite aproximar a distribuição de \overline{X} por uma normal com média \mu_{\overline{X}}=\mu e desvio padrão (erro padrão) \sigma_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Portanto vamos transformar o problema em uma probabilidade envolvendo a normal padrão Z (fácil de consultar em tabela ou calcular).
Passo 3
Apresentando as fórmulas e explicando cada símbolo.
A média da distribuição amostral:\mu_{\overline{X}}=\muonde \mu é a média populacional (aqui \mu=15).
O erro padrão (desvio padrão da média amostral):\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}onde \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=5) e n é o tamanho da amostra (aqui n=40).
Para calcular probabilidades usamos a padronização:Z=\frac{\overline{X}-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}}que converte a variável \overline{X} numa normal padrão Z com média 0 e desvio 1. A probabilidade desejada viraP\big(\overline{X}>15,5\big)=P\!\left(Z>\frac{15,5-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}\right).
Passo 4
Calcular o erro padrão numérico passo a passo.
Substituindo na fórmula do erro padrão:\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{5}{\sqrt{40}}.
Calcule \sqrt{40}. Uma aproximação:\sqrt{40}\approx 6,3246.
A probabilidade encontrada é cerca de 26,4\%. Em linguagem cotidiana: se você pegar muitas amostras de 40 sacadas cada, em aproximadamente 26\% das amostras a média das alturas será maior do que 15,5 metros.
A conta principal está baseada no Teorema Central do Limite e na fórmula do erro padrão; se a amostra fosse muito pequena, precisaríamos saber mais sobre a distribuição das alturas, mas com n=40 a aproximação normal é adequada.
Resultado final arredondado mantido para conferência.