Uma empresa monitora milhares de regulamentações referentes a integridade estrutural e as restrições de interior. Uma regulamentação sujeita a crescente escrutínio é a altura das sacadas em edifícios comerciais. Uma sacada tem em média 15 metros acima do chão com um desvio padrão de 5 metros. Um inspetor seleciona uma amostra de 40 sacadas de edifícios em torno da cidade, qual a probabilidade de que a média de altura seja maior do que 15,5 metros?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
  • Informações fornecidas:
    • A média populacional das alturas das sacadas é \mu=15 metros.
    • O desvio padrão populacional é \sigma=5 metros.
    • O inspetor seleciona uma amostra de tamanho n=40.
  • Pergunta que o enunciado faz:
    • Qual é a probabilidade de que a média amostral seja maior do que 15,5 metros, isto é, calcular P\big(\overline{X}>15,5\big).

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática).
  • Aqui precisamos da distribuição da média amostral \overline{X}. Mesmo que a distribuição das alturas individuais não seja especificada, como o tamanho da amostra é relativamente grande ( n=40), podemos usar o Teorema Central do Limite (TCL), que diz que a distribuição da média amostral fica aproximadamente normal para amostras grandes.
  • O TCL permite aproximar a distribuição de \overline{X} por uma normal com média \mu_{\overline{X}}=\mu e desvio padrão (erro padrão) \sigma_{\overline{X}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Portanto vamos transformar o problema em uma probabilidade envolvendo a normal padrão Z (fácil de consultar em tabela ou calcular).

Passo 3

Apresentando as fórmulas e explicando cada símbolo.
  • A média da distribuição amostral: \mu_{\overline{X}}=\muonde \mu é a média populacional (aqui \mu=15).
  • O erro padrão (desvio padrão da média amostral): \sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}onde \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=5) e n é o tamanho da amostra (aqui n=40).
  • Para calcular probabilidades usamos a padronização: Z=\frac{\overline{X}-\mu_{\overline{X}}}{\sigma_{\overline{X}}}que converte a variável \overline{X} numa normal padrão Z com média 0 e desvio 1. A probabilidade desejada vira P\big(\overline{X}>15,5\big)=P\!\left(Z>\frac{15,5-\mu}{\sigma_{\overline{X}}}\right).

Passo 4

Calcular o erro padrão numérico passo a passo.
  • Substituindo na fórmula do erro padrão: \sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{5}{\sqrt{40}}.
  • Calcule \sqrt{40}. Uma aproximação: \sqrt{40}\approx 6,3246.
  • Portanto \sigma_{\overline{X}}=\frac{5}{6,3246}\approx 0,7906.

Passo 5

Calcular a estatística padronizada Z.
  • A diferença entre a média amostral alvo e a média populacional é 15,5-15=0,5.
  • Padronizando: z=\frac{15,5-15}{\sigma_{\overline{X}}}=\frac{0,5}{0,7906}\approx 0,6325.
  • Ou em forma arredondada, z\approx 0,632.

Passo 6

Converter z em probabilidade usando a normal padrão.
  • Queremos P\big(\overline{X}>15,5\big)=P(Z>0,6325).
  • Para a normal padrão, P(Z>z)=1-\Phi(z), onde \Phi(z) é a função de distribuição acumulada da normal padrão.
  • Consultando tabela da normal ou calculadora, \Phi(0,6325)\approx 0,736.
  • Logo P\big(\overline{X}>15,5\big)=1-0,736\approx 0,264.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida.
  • A probabilidade encontrada é cerca de 26,4\%. Em linguagem cotidiana: se você pegar muitas amostras de 40 sacadas cada, em aproximadamente 26\% das amostras a média das alturas será maior do que 15,5 metros.
  • A conta principal está baseada no Teorema Central do Limite e na fórmula do erro padrão; se a amostra fosse muito pequena, precisaríamos saber mais sobre a distribuição das alturas, mas com n=40 a aproximação normal é adequada.
  • Resultado final arredondado mantido para conferência.

Resposta

0,264

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