1. Suponha uma placa de Tefl on com 60 mm de espessura situada no ar. Qual é a frequência máxima para a qual esta placa suporta apenas um modo?

Passo 1

O enunciado dá uma placa de Teflon com espessura \,60\\ \text{mm}\, situada no ar e pede: qual é a frequência máxima para a qual essa placa “suporta apenas um modo”?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Espessura da placa: \,d=60\\ \text{mm}.
  • Material: Teflon (não foram fornecidas no enunciado as velocidades de onda no material).
  • Pergunta: encontrar a frequência máxima abaixo da qual só existe um modo guiado (ou seja, acima dessa frequência surgem modos adicionais).

Passo 2

O que significa “apenas um modo” e qual é a condição que usamos?
  • Em chapas finitas existem modos guiados (modos de Lamb e modos de cisalhamento) que aparecem a partir de frequências de corte associadas às ressonâncias de espessura do corpo.
  • As frequências de corte (ou ressonâncias de espessura) ocorrem quando a espessura da placa contém um número inteiro de meias-ondas de uma onda acústica no material. Para uma onda no sólido com velocidade v o critério é que a espessura suporte metade de um comprimento de onda (para o modo de ordem m):
\lambda = \frac{2d}{m}.
  • Assim a frequência de corte associada ao modo de ordem m e velocidade v é
f_{m}=\frac{v}{\lambda}=\frac{m\,v}{2d}.
  • Existem dois tipos de velocidades relevantes no sólido: a velocidade longitudinal \,c_L e a velocidade de cisalhamento (transversal) \,c_T. Como normalmente \,c_T<c_L, a primeira frequência de corte (mais baixa) vem do primeiro modo de cisalhamento com m=1. Essa primeira frequência de corte determina a frequência máxima na qual apenas os modos fundamentais (sem modos de ordem superior) existem.

Passo 3

Converter a espessura para unidades do SI e fixar valores típicos para o Teflon (o enunciado não deu propriedades, então uso valores representativos encontrados em tabelas de materiais; esses valores podem variar um pouco conforme o grau do polímero):
  • Espessura:
d=60\\ \text{mm}=0{,}060\\ \text{m}.
  • Velocidades típicas para Teflon (valores aproximados usados aqui):
c_L \approx 1400\\ \text{m/s}\quad\text{(velocidade longitudinal)}
c_T \approx 500\\ \text{m/s}\quad\text{(velocidade de cisalhamento)}
Comentário rápido: escolhi \,c_T=500\\ \text{m/s} como valor representativo; se um valor diferente for usado a resposta muda proporcionalmente.

Passo 4

Calcular a primeira frequência de corte associada ao modo de cisalhamento ( m=1), que é a mais baixa e portanto controla quando surgem modos adicionais:
f_{1}=\frac{1\cdot c_T}{2d}.
Substituindo os números:
f_{1}=\frac{500}{2\cdot 0{,}060}=\frac{500}{0{,}12}.
Agora calcular a divisão:
\frac{500}{0{,}12}= \frac{50000}{12}=4166{,}66\ldots \\ \text{Hz}.

Passo 5

Interpretação e conclusão didática:
  • A partir dessa estimativa, para frequências abaixo de \,f_{1} a placa suporta apenas os modos fundamentais (não aparecem ainda as modalidades de ordem superior).
  • Portanto a frequência máxima para garantir “apenas um modo” é aproximadamente \,4{,}17\\ \text{kHz}.
  • Observação importante: este valor é aproximado porque depende do valor preciso de \,c_T do Teflon usado; se houver o valor exato de \,c_T a conta é feita substituindo-o na fórmula \,f_{1}=c_T/(2d).

Resposta

\approx 4{,}17\\ \text{kHz}

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