1. O guia de onda WR90 opera a 16 GHz . Construa uma tabela com os valores do comprimento de onda do guia, velocidade de fase, velocidade de grupo e impedância para cada modo suportado.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado:
  • Pede: construir uma tabela com, para cada modo suportado pelo guia WR90 à frequência de operação, os valores de comprimento de onda do guia, velocidade de fase, velocidade de grupo e impedância característica.
  • Informação padrão que vamos usar (tamanho interno do WR90, valor conhecido):
    • Largura interna a = 22,86\\ \mathrm{mm} = 0,02286\\ \mathrm{m}.
    • Altura interna b = 10,16\\ \mathrm{mm} = 0,01016\\ \mathrm{m}.
    • Frequência de operação f = 16\\ \mathrm{GHz} = 16\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
    • Velocidade da luz no vácuo (aproximação prática) c \approx 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    • Impedância do espaço livre \eta \approx 377\\ \Omega.
  • O enunciado pede os modos “suportados” — isto é, os modos cuja frequência de corte f_c é menor que f. Vou listar e calcular os modos de menor ordem (TE e TM de baixo índice) e decidir quais têm f_c<f.

Passo 2

Fórmulas fundamentais e significado das variáveis (mini-aula rápida):
  • Frequência de corte para um modo (m,n) (rectangular waveguide, modos TE ou TM têm a mesma expressão para f_c):
f_{c_{mn}}=\frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^{2}+\left(\frac{n}{b}\right)^{2}}
onde m,n são inteiros não-negativos (para TE: m e/ou n podem ser zero, não simultaneamente zero; para TM: ambos m,n devem ser não-zero).
  • Comprimento de onda no espaço livre:
\lambda_{0}=\frac{c}{f}
  • Comprimento de onda no guia (modo propagante, f>f_c):
\lambda_{g}=\frac{\lambda_{0}}{\sqrt{1-\left(\dfrac{f_{c}}{f}\right)^{2}}}
  • Constante de fase \beta e velocidades:
\beta=\frac{2\pi}{\lambda_{g}},\qquad v_{p}=\frac{\omega}{\beta}=\frac{c}{\sqrt{1-\left(\dfrac{f_{c}}{f}\right)^{2}}},\qquad v_{g}=c\sqrt{1-\left(\dfrac{f_{c}}{f}\right)^{2}}
onde v_{p} é a velocidade de fase e v_{g} a velocidade de grupo. Note que v_p>c e v_g<c para modos de guia (isso é normal: a velocidade de fase pode exceder c sem violar relatividade).
  • Impedância de onda no guia:
    • Para modos TE:
    Z_{\text{TE}}=\frac{\eta}{\sqrt{1-\left(\dfrac{f_{c}}{f}\right)^{2}}}
    • Para modos TM:
    Z_{\text{TM}}=\eta\sqrt{1-\left(\dfrac{f_{c}}{f}\right)^{2}}(Aqui \eta é a impedância do meio, usamos \eta\approx377\\ \Omega.)
  • O plano de ação: calcular \lambda_{0}; calcular f_{c} para os modos de ordem baixa (TE _{10}, TE _{20}, TE _{01}, TE _{11}, etc.); selecionar os que têm f_c<f; para cada modo selecionado calcular \lambda_{g}, v_p, v_g e Z (modos TE usam expressão TE).

Passo 3

Calcular \lambda_{0} (comprimento de onda livre) como base:
\lambda_{0}=\frac{c}{f}=\frac{3\times10^{8}}{16\times10^{9}}=0,01875\\ \mathrm{m}=18,75\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Calcular frequências de corte dos modos de menor ordem (usar c=3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}):
  • Modo \mathrm{TE}_{10} ( m=1,n=0):
f_{c_{10}}=\frac{c}{2a}=\frac{3\times10^{8}}{2\cdot0,02286}=6,56\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
  • Modo \mathrm{TE}_{20} ( m=2,n=0):
f_{c_{20}}=2\cdot f_{c_{10}}=13,12\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
  • Modo \mathrm{TE}_{01} ( m=0,n=1):
f_{c_{01}}=\frac{c}{2b}=\frac{3\times10^{8}}{2\cdot0,01016}=14,77\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
  • Modo \mathrm{TE}_{11} ( m=1,n=1):
f_{c_{11}}=\frac{c}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{a}\right)^{2}+\left(\frac{1}{b}\right)^{2}}\approx16,17\times10^{9}\\ \mathrm{Hz}.
Observação numérica: os cálculos acima usam as dimensões do WR90 fornecidas no Passo 1.

Passo 5

Decidir quais modos são suportados à frequência f=16\\ \mathrm{GHz}:
  • Comparações: \;f_{c_{10}}=6,56\\ \mathrm{GHz}<16\\ \mathrm{GHz} \mathrm{TE}_{10} propaga.
  • \;f_{c_{20}}=13,12\\ \mathrm{GHz}<16\\ \mathrm{GHz} \mathrm{TE}_{20} propaga.
  • \;f_{c_{01}}=14,77\\ \mathrm{GHz}<16\\ \mathrm{GHz} \mathrm{TE}_{01} propaga.
  • \;f_{c_{11}}\approx16,17\\ \mathrm{GHz}>16\\ \mathrm{GHz} \mathrm{TE}_{11} NÃO propaga (cortado).
Conclusão: os modos de menor ordem que propagam em 16\\ \mathrm{GHz} no WR90 são \mathrm{TE}_{10}, \mathrm{TE}_{20} e \mathrm{TE}_{01}. Vou calcular para cada um os campos pedidos.

Passo 6

Cálculos detalhados para \mathrm{TE}_{10} (passo a passo, para o estilo de prova):
  1. Razão \dfrac{f_{c}}{f}:
\frac{f_{c_{10}}}{f}=\frac{6,56\times10^{9}}{16\times10^{9}}=0,4101.
  1. Fator \sqrt{1-\left(\dfrac{f_{c}}{f}\right)^{2}}:
\sqrt{1-(0,4101)^{2}}=\sqrt{1-0,1682}= \;0,9110.
  1. Comprimento de onda no guia:
\lambda_{g}=\frac{\lambda_{0}}{0,9110}=\frac{0,01875}{0,9110}=0,02059\\ \mathrm{m}=20,59\\ \mathrm{mm}.
  1. Velocidade de fase:
v_{p}=\frac{c}{0,9110}=3,29\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  1. Velocidade de grupo:
v_{g}=c\cdot0,9110=2,73\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  1. Impedância do modo (TE):
Z_{\mathrm{TE}}=\frac{\eta}{0,9110}=\frac{377}{0,9110}=413,9\\ \Omega.

Passo 7

Cálculos detalhados para \mathrm{TE}_{20}:
  1. Razão:
\frac{f_{c_{20}}}{f}=\frac{13,12\times10^{9}}{16\times10^{9}}=0,8202.
  1. Fator:
\sqrt{1-(0,8202)^{2}}=\sqrt{1-0,6728}=0,5722.
  1. Comprimento de onda no guia:
\lambda_{g}=\frac{0,01875}{0,5722}=0,03277\\ \mathrm{m}=32,77\\ \mathrm{mm}.
  1. Velocidade de fase:
v_{p}=\frac{c}{0,5722}=5,24\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  1. Velocidade de grupo:
v_{g}=c\cdot0,5722=1,72\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  1. Impedância do modo (TE):
Z_{\mathrm{TE}}=\frac{377}{0,5722}=659,0\\ \Omega.

Passo 8

Cálculos detalhados para \mathrm{TE}_{01}:
  1. Razão:
\frac{f_{c_{01}}}{f}=\frac{14,77\times10^{9}}{16\times10^{9}}=0,9231.
  1. Fator:
\sqrt{1-(0,9231)^{2}}=\sqrt{1-0,8521}=0,38498.
  1. Comprimento de onda no guia:
\lambda_{g}=\frac{0,01875}{0,38498}=0,04872\\ \mathrm{m}=48,72\\ \mathrm{mm}.
  1. Velocidade de fase:
v_{p}=\frac{c}{0,38498}=7,79\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  1. Velocidade de grupo:
v_{g}=c\cdot0,38498=1,15\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  1. Impedância do modo (TE):
Z_{\mathrm{TE}}=\frac{377}{0,38498}=979,7\\ \Omega.

Passo 9

Resumo dos resultados numéricos (preparação final): calculei \lambda_{0}=0,01875\\ \mathrm{m}, identifiquei os modos que propagam ( \mathrm{TE}_{10},\mathrm{TE}_{20},\mathrm{TE}_{01}) e, para cada um, calculei \lambda_{g}, v_{p}, v_{g} e Z_{\mathrm{TE}}. A seguir está apenas a resposta final, organizada por modo.

Resposta

\mathrm{TE}_{10}:\\ \lambda_{g}=0,02059\\ \mathrm{m},\\ v_{p}=3,29\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\\ v_{g}=2,73\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\\ Z=413,9\\ \Omega
\mathrm{TE}_{20}:\\ \lambda_{g}=0,03277\\ \mathrm{m},\\ v_{p}=5,24\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\\ v_{g}=1,72\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\\ Z=659,0\\ \Omega
\mathrm{TE}_{01}:\\ \lambda_{g}=0,04872\\ \mathrm{m},\\ v_{p}=7,79\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\\ v_{g}=1,15\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},\\ Z=979,7\\ \Omega

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