1. Determine uma expressão para o campo magnético do modo TE11.

Passo 1

O enunciado pede: “Determine uma expressão para o campo magnético do modo TE11.”
Informações / hipóteses que vou adotar (o enunciado não especificou geometria nem convenções, então isso precisa ser fixado para calcular o campo):
  • Vou trabalhar em um guia de onda de seção circular de raio a.
  • Assumo regime harmônico no tempo com dependência temporal \mathrm{e}^{-j\omega t}.
  • Notação: \omega é a frequência angular, \mu e \varepsilon são a permeabilidade e permissividade do meio no interior do guia, k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon} é o número de onda no meio, e \beta é a constante de propagação ao longo do eixo z.
  • O modo pedido é o modo TE11 (modo transversal elétrico com índices azimutal m=1 e radial n=1).
    Nada mais foi dado; a partir dessas hipóteses vou obter a expressão geral do campo magnético \mathbf{H} para o modo TE11 e as condições que determinam k_c (número de onda de corte) e \beta.

Passo 2

Obter a equação para a componente longitudinal do campo magnético.
Explicação conceitual curta e direta: para modos TE em um guia com simetria circular, a componente axial do campo elétrico é zero ( E_z=0) e a componente axial do campo magnético H_z satisfaz a equação de Helmholtz transversa. Em coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z) e separando a dependência em z como \mathrm{e}^{-j\beta z}, a equação para H_z(r,\varphi) é
\left(\nabla_t^2 + k_c^2\right)H_z(r,\varphi)=0,
onde \nabla_t^2 é o laplaciano transversal (em r,\varphi) e
k_c^2 = k^2 - \beta^2.
Fazendo separação de variáveis com H_z(r,\varphi)=R(r)\Phi(\varphi), chega-se à equação de Bessel para R(r):
r^2 R''(r) + r R'(r) + \big(k_c^2 r^2 - m^2\big)R(r)=0,
onde m é o número azimutal inteiro. As soluções regulares em r=0 são as funções de Bessel de primeira espécie J_m(k_c r). Para o modo TE11 tomamos m=1. Portanto a forma geral admissível para H_z é
H_z(r,\varphi,z)=H_0 J_1(k_c r)\big(A\cos\varphi + B\sin\varphi\big)\mathrm{e}^{-j\beta z},
onde H_0 é uma amplitude complexa e A,B definem a orientação azimutal (dois modos degenerados; normalmente escolhe-se A=1,B=0 ou A=0,B=1). Vou escolher a polarização com \cos\varphi para escrever uma expressão explícita; a solução com \sin\varphi é análoga.

Passo 3

Relações entre H_z e as componentes transversas de \mathbf{H} e condição de contorno na parede condutora.
Primeiro, relações resultantes das equações de Maxwell em forma fasorial (dependência \mathrm{e}^{-j\omega t}):
\nabla\times\mathbf{H}=j\omega\varepsilon\,\mathbf{E}, \qquad \nabla\times\mathbf{E}=-j\omega\mu\,\mathbf{H}.
Para modos TE (onde E_z=0) pode-se mostrar (padrão em guias cilíndricos) as fórmulas que dão as componentes transversas em função de H_z:
E_r = -\frac{j\omega\mu}{k_c^2}\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial H_z}{\partial\varphi}, \qquad E_\varphi = \frac{j\omega\mu}{k_c^2}\,\frac{\partial H_z}{\partial r},
H_r = -\frac{j\beta}{k_c^2}\,\frac{\partial H_z}{\partial r}, \qquad H_\varphi = -\frac{j\beta}{k_c^2}\,\frac{1}{r}\,\frac{\partial H_z}{\partial\varphi}.
(Explicação breve: essas fórmulas vêm de manipular \nabla\times\mathbf{E} e \nabla\times\mathbf{H} isolando as componentes transversas e usando \partial/\partial z = -j\beta. Cada símbolo já foi definido antes.)
Agora a condição de contorno na parede metálica perfeita r=a: o campo tangencial elétrico deve ser nulo, em particular E_\varphi(r=a)=0. Como E_\varphi é proporcional a \partial H_z/\partial r, exige-se
\left.\frac{\partial H_z}{\partial r}\right|_{r=a}=0.
Substituindo H_z=H_0 J_1(k_c r)\cos\varphi\,\mathrm{e}^{-j\beta z} obtemos a condição de autovalor
J_1'(k_c a)=0.
Isto determina os valores possíveis de k_c a. Para o menor valor não nulo (modo n=1) tem-se
k_c a = \chi'_{11},
onde \chi'_{11} é o primeiro zero de J_1'(x). Numericamente \chi'_{11}\approx 1{,}84118. Portanto
k_c = \frac{\chi'_{11}}{a}.
Também vale a relação entre \beta, k e k_c:
\beta=\sqrt{k^2 - k_c^2}=\sqrt{\omega^2\mu\varepsilon - k_c^2},
que descreve propagação ( \beta real) ou atenuação ( \beta imaginário) dependendo de \omega em relação à frequência de corte.

Passo 4

Calcular explicitamente as componentes de \mathbf{H} para o modo TE11 (polarização \cos\varphi).
Começando de
H_z(r,\varphi,z)=H_0 J_1(k_c r)\cos\varphi\,\mathrm{e}^{-j\beta z},
calculo as derivadas necessárias:
\frac{\partial H_z}{\partial r}=H_0 k_c J_1'(k_c r)\cos\varphi\,\mathrm{e}^{-j\beta z},
\frac{1}{r}\frac{\partial H_z}{\partial\varphi}=-H_0\frac{J_1(k_c r)}{r}\sin\varphi\,\mathrm{e}^{-j\beta z}.
Agora uso as fórmulas da passo anterior para H_r e H_\varphi:
H_r(r,\varphi,z) = -\frac{j\beta}{k_c^2}\,\frac{\partial H_z}{\partial r} = -j\frac{\beta}{k_c}\,H_0 J_1'(k_c r)\cos\varphi\,\mathrm{e}^{-j\beta z},
H_\varphi(r,\varphi,z) = -\frac{j\beta}{k_c^2}\,\frac{1}{r}\frac{\partial H_z}{\partial\varphi} = j\frac{\beta}{k_c^2}\,H_0\frac{J_1(k_c r)}{r}\sin\varphi\,\mathrm{e}^{-j\beta z}.
Portanto o campo magnético total (vetor) é
\mathbf{H}(r,\varphi,z)=\hat{r}\,H_r+\hat{\varphi}\,H_\varphi+\hat{z}\,H_z,
ou explicitamente:
\mathbf{H}(r,\varphi,z)=\hat{r}\left(-j\frac{\beta}{k_c}H_0 J_1'(k_c r)\cos\varphi\right)\mathrm{e}^{-j\beta z} +\hat{\varphi}\left(j\frac{\beta}{k_c^2}H_0\frac{J_1(k_c r)}{r}\sin\varphi\right)\mathrm{e}^{-j\beta z} +\hat{z}\left(H_0 J_1(k_c r)\cos\varphi\right)\mathrm{e}^{-j\beta z}.

Passo 5

Observações finais didáticas e alternativas de escrita.
  • A amplitude H_0 é uma constante que depende da alimentação (normalização). Em provas costuma-se deixá-la como constante arbitrária ou normalizá-la convenientemente.
  • Existe a solução degenerada com \sin\varphi em vez de \cos\varphi; ambas correspondem ao modo TE11 com orientação azimutal diferente. Em geral a solução mais geral é combinação linear das duas.
  • Lembrar da condição de corte: para \omega tal que k<k_c o valor de \beta torna-se imaginário e o modo é evanescente. Para propagação é necessário \omega>\omega_c onde \omega_c = k_c/\sqrt{\mu\varepsilon}.
  • Resumo das quantidades importantes: k_c=\frac{\chi'_{11}}{a},\qquad \chi'_{11}\approx 1{,}84118,\qquad \beta=\sqrt{\omega^2\mu\varepsilon-k_c^2}.

Resposta

\mathbf{H}(r,\varphi,z)=\hat{r}\left(-j\frac{\beta}{k_c}H_0 J_1'(k_c r)\cos\varphi\right)\mathrm{e}^{-j\beta z}+\hat{\varphi}\left(j\frac{\beta}{k_c^2}H_0\frac{J_1(k_c r)}{r}\sin\varphi\right)\mathrm{e}^{-j\beta z}+\hat{z}\left(H_0 J_1(k_c r)\cos\varphi\right)\mathrm{e}^{-j\beta z}
com k_c a=\chi'_{11} (primeiro zero de J_1', \chi'_{11}\approx1{,}84118) e \beta=\sqrt{\omega^2\mu\varepsilon-k_c^2}.

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