Determine uma expressão para o campo magnético do modo TE11.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine uma expressão para o campo magnético do modo TE11.”
Informações / hipóteses que vou adotar (o enunciado não especificou geometria nem convenções, então isso precisa ser fixado para calcular o campo):
Vou trabalhar em um guia de onda de seção circular de raio a.
Assumo regime harmônico no tempo com dependência temporal \mathrm{e}^{-j\omega t}.
Notação: \omega é a frequência angular, \mu e \varepsilon são a permeabilidade e permissividade do meio no interior do guia, k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon} é o número de onda no meio, e \beta é a constante de propagação ao longo do eixo z.
O modo pedido é o modo TE11 (modo transversal elétrico com índices azimutal m=1 e radial n=1).
Nada mais foi dado; a partir dessas hipóteses vou obter a expressão geral do campo magnético \mathbf{H} para o modo TE11 e as condições que determinam k_c (número de onda de corte) e \beta.
Passo 2
Obter a equação para a componente longitudinal do campo magnético.
Explicação conceitual curta e direta: para modos TE em um guia com simetria circular, a componente axial do campo elétrico é zero (E_z=0) e a componente axial do campo magnético H_z satisfaz a equação de Helmholtz transversa. Em coordenadas cilíndricas (r,\varphi,z) e separando a dependência em z como \mathrm{e}^{-j\beta z}, a equação para H_z(r,\varphi) é
\left(\nabla_t^2 + k_c^2\right)H_z(r,\varphi)=0,
onde \nabla_t^2 é o laplaciano transversal (em r,\varphi) e
k_c^2 = k^2 - \beta^2.
Fazendo separação de variáveis com H_z(r,\varphi)=R(r)\Phi(\varphi), chega-se à equação de Bessel para R(r):
r^2 R''(r) + r R'(r) + \big(k_c^2 r^2 - m^2\big)R(r)=0,
onde m é o número azimutal inteiro. As soluções regulares em r=0 são as funções de Bessel de primeira espécie J_m(k_c r). Para o modo TE11 tomamos m=1. Portanto a forma geral admissível para H_z é
onde H_0 é uma amplitude complexa e A,B definem a orientação azimutal (dois modos degenerados; normalmente escolhe-se A=1,B=0 ou A=0,B=1). Vou escolher a polarização com \cos\varphi para escrever uma expressão explícita; a solução com \sin\varphi é análoga.
Passo 3
Relações entre H_z e as componentes transversas de \mathbf{H} e condição de contorno na parede condutora.
Primeiro, relações resultantes das equações de Maxwell em forma fasorial (dependência \mathrm{e}^{-j\omega t}):
(Explicação breve: essas fórmulas vêm de manipular \nabla\times\mathbf{E} e \nabla\times\mathbf{H} isolando as componentes transversas e usando \partial/\partial z = -j\beta. Cada símbolo já foi definido antes.)
Agora a condição de contorno na parede metálica perfeita r=a: o campo tangencial elétrico deve ser nulo, em particular E_\varphi(r=a)=0. Como E_\varphi é proporcional a \partial H_z/\partial r, exige-se
Observações finais didáticas e alternativas de escrita.
A amplitude H_0 é uma constante que depende da alimentação (normalização). Em provas costuma-se deixá-la como constante arbitrária ou normalizá-la convenientemente.
Existe a solução degenerada com \sin\varphi em vez de \cos\varphi; ambas correspondem ao modo TE11 com orientação azimutal diferente. Em geral a solução mais geral é combinação linear das duas.
Lembrar da condição de corte: para \omega tal que k<k_c o valor de \beta torna-se imaginário e o modo é evanescente. Para propagação é necessário \omega>\omega_c onde \omega_c = k_c/\sqrt{\mu\varepsilon}.
Resumo das quantidades importantes:k_c=\frac{\chi'_{11}}{a},\qquad \chi'_{11}\approx 1{,}84118,\qquad \beta=\sqrt{\omega^2\mu\varepsilon-k_c^2}.