Suponha que um ponto de coordenadas X e Y seja aleatoriamente selecionado do círculo C.
C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ;(x-1)^{2}+(y+2)^{2} \leq 9\right\} .
Determine:
(a) A densidade condicional de Y dada X.
(b) P(Y>0 \mid X=2).

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y) é selecionado de forma uniforme no disco
C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid (x-1)^2+(y+2)^2\le9\}.
Precisamos encontrar a densidade condicional de Y dado X e depois calcular P(Y>0\mid X=2). Vamos usar os conceitos de densidade conjunta, marginal e condicional.

Passo 2

Como a distribuição é uniforme em C, cuja área é \pi\cdot3^2=9\pi, a densidade conjunta é
f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} \dfrac1{9\pi},& (x,y)\in C,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 3

Para cada x, a variável Y varia de forma que
(x-1)^2+(y+2)^2\le9 \quad\Longrightarrow\quad (y+2)^2\le9-(x-1)^2
ou seja
y\in\bigl[-2-\sqrt{9-(x-1)^2},\,-2+\sqrt{9-(x-1)^2}\bigr].
Assim a marginal de X é
f_X(x) =\int_{y=-2-\sqrt{9-(x-1)^2}}^{-2+\sqrt{9-(x-1)^2}} \frac1{9\pi}\,dy =\frac{2\sqrt{9-(x-1)^2}}{9\pi}, \quad x\in[\,1-3,\;1+3\,]=[-2,4].

Passo 4

A densidade condicional de Y dado X=x é
f_{Y\mid X}(y\mid x) =\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)} =\frac{\frac1{9\pi}}{\frac{2\sqrt{9-(x-1)^2}}{9\pi}} =\frac1{2\sqrt{9-(x-1)^2}},
para
y\in\bigl[-2-\sqrt{9-(x-1)^2},\,-2+\sqrt{9-(x-1)^2}\bigr],
e zero fora desse intervalo.

Passo 5

Para X=2, o intervalo de Y é
y\in\bigl[-2-\sqrt{9-(2-1)^2},\,-2+\sqrt{9-(2-1)^2}\bigr] =\bigl[-2-2\sqrt2,\,-2+2\sqrt2\bigr].
Como f_{Y\mid X}(y\mid2) é uniforme nesse segmento de comprimento 4\sqrt2, a probabilidade de Y>0 é a razão entre o comprimento da parte acima de zero e o comprimento total:
P(Y>0\mid X=2) =\frac{\bigl(-2+2\sqrt2\bigr)-0}{4\sqrt2} =\frac{2(\sqrt2-1)}{4\sqrt2} =\frac{2-\sqrt2}{4}.

Resposta

(a) Para x\in[-2,4],
f_{Y\mid X}(y\mid x) =\begin{cases} \dfrac1{2\sqrt{9-(x-1)^2}},&y\in[-2-\sqrt{9-(x-1)^2},\,-2+\sqrt{9-(x-1)^2}],\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
(b)
P(Y>0\mid X=2)=\frac{2-\sqrt2}{4}.

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