(Questão 53 - Seção 3.4 - Magalhães) Sejam X_{1} \sim \operatorname{Gama}(\alpha, \lambda) e X_{2} \sim \operatorname{Gama}(\beta, \lambda) duas variáveis independentes. Defina novas variáveis W=X_{1} /\left(X_{1}+X_{2}\right) e T=X_{1}+X_{2}. Mostre que:
(a) W tem densidade beta de parâmetros (\alpha, \beta).
(b) T tem densidade gama de parâmetros (\alpha+\beta, \lambda).
(c) W e T são independentes.

Passo 1

O enunciado dá X_{1}\sim \text{Gama}(\alpha,\lambda) e X_{2}\sim \text{Gama}(\beta,\lambda) independentes, e define
W=\frac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}},\quad T=X_{1}+X_{2}.
Queremos usar o método de transformação de variáveis (jacobiano) para obter a densidade conjunta de (W,T), daí extrair as marginais e verificar independência.

Passo 2

Invertemos a transformação:
x_{1}=w\,t,\quad x_{2}=(1-w)\,t
com domínio 0<w<1, t>0. O Jacobiano absoluto vale
J=\bigl|\det \partial(x_{1},x_{2})/\partial(w,t)\bigr|=t.

Passo 3

A densidade conjunta original é
f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}) =\frac{\lambda^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\,x_{1}^{\alpha-1}e^{-\lambda x_{1}}\;\cdot\;\frac{\lambda^{\beta}}{\Gamma(\beta)}\,x_{2}^{\beta-1}e^{-\lambda x_{2}}.
Substituindo x_{1}=w t, x_{2}=(1-w)t e multiplicando por J=t, obtemos
f_{W,T}(w,t) =f_{X_{1},X_{2}}(w t,(1-w)t)\,t.

Passo 4

Fazendo a conta e agrupando:
f_{W,T}(w,t) =\frac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)} (wt)^{\alpha-1}\bigl((1-w)t\bigr)^{\beta-1}e^{-\lambda t}\,t
=\frac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)} \,w^{\alpha-1}(1-w)^{\beta-1}\,t^{\alpha+\beta-1}e^{-\lambda t}.
Reescrevendo como produtos separados em w e t:
f_{W,T}(w,t) =\Bigl[\tfrac{w^{\alpha-1}(1-w)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}\Bigr] \Bigl[\tfrac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha+\beta)}\,t^{\alpha+\beta-1}e^{-\lambda t}\Bigr].

Passo 5

Para a densidade marginal de W, integramos em t\in(0,\infty). O termo em t é uma densidade Gama (\alpha+\beta,\lambda) e integra 1. Logo
f_{W}(w) =\frac{w^{\alpha-1}(1-w)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}, \quad 0<w<1,
que é Beta (\alpha,\beta).

Passo 6

Para a densidade marginal de T, integramos em w\in(0,1). O termo em w é uma densidade Beta (\alpha,\beta) e integra 1. Logo
f_{T}(t) =\frac{\lambda^{\alpha+\beta}}{\Gamma(\alpha+\beta)}\,t^{\alpha+\beta-1}e^{-\lambda t}, \quad t>0,
que é Gama (\alpha+\beta,\lambda).

Passo 7

Como f_{W,T}(w,t) se escreve como o produto f_{W}(w)\,f_{T}(t), concluímos que W e T são independentes.

Resposta

W\sim \mathrm{Beta}(\alpha,\beta). T\sim \mathrm{Gama}(\alpha+\beta,\lambda). W e T são independentes.

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