(Questão 53 - Seção 3.4 - Magalhães) Sejam X_{1} \sim \operatorname{Gama}(\alpha, \lambda) e X_{2} \sim \operatorname{Gama}(\beta, \lambda) duas variáveis independentes. Defina novas variáveis W=X_{1} /\left(X_{1}+X_{2}\right) e T=X_{1}+X_{2}. Mostre que:
(a) W tem densidade beta de parâmetros (\alpha, \beta).
(b) T tem densidade gama de parâmetros (\alpha+\beta, \lambda).
(c) W e T são independentes.
Passo 1
O enunciado dá X_{1}\sim \text{Gama}(\alpha,\lambda) e X_{2}\sim \text{Gama}(\beta,\lambda) independentes, e define
W=\frac{X_{1}}{X_{1}+X_{2}},\quad T=X_{1}+X_{2}.
Queremos usar o método de transformação de variáveis (jacobiano) para obter a densidade conjunta de (W,T), daí extrair as marginais e verificar independência.