Suponha que um potencial em coordenadas cilíndricas é uma função de r e z, mas não de \varphi, \mathrm{V}= \mathrm{R}(r) \mathrm{Z}(z). Escreva a equação de Laplace e obtenha as equações diferenciais separadas em r e z. Mostre que as soluções da equação em r são funções de Bessel, enquanto as soluções em z têm a forma de funções exponenciais ou hiperbólicas.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas para um potencial \mathrm{V}(r,z) que não depende de \varphi e depois separar variáveis assumindo
\mathrm{V}(r,z)=R(r)\,Z(z).
O conteúdo aqui é solução da equação de Laplace por separação de variáveis, levando a equações de Bessel em r e exponenciais ou hiperbólicas em z.

Passo 2

A equação de Laplace em coordenadas cilíndricas, sem dependência em \varphi, é
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\Bigl(r\,\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial r}\Bigr) +\frac{\partial^2 \mathrm{V}}{\partial z^2} =0.

Passo 3

Substituindo \mathrm{V}(r,z)=R(r)\,Z(z) e dividindo por R(r)\,Z(z) obtemos
\frac{1}{R}\,\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dR}{dr}\Bigr) +\frac{1}{Z}\,\frac{d^2 Z}{dz^2} =0.

Passo 4

Cada termo depende de variável diferente, logo deve ser igual a uma constante de separação, digamos k^2. Podemos escrever
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dR}{dr}\Bigr)\frac{1}{R} =-\,\frac{1}{Z}\,\frac{d^2 Z}{dz^2} =k^2.
Dessa forma surgem duas EDOs independentes:
\frac{d^2 R}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{dR}{dr}+k^2\,R=0,
\frac{d^2 Z}{dz^2}-k^2\,Z=0.

Passo 5

A equação radial
\frac{d^2 R}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{dR}{dr}+k^2\,R=0
é a equação de Bessel de ordem zero. Suas soluções gerais são
R(r)=A\,J_{0}(k\,r)+B\,Y_{0}(k\,r),
onde J_{0} e Y_{0} são funções de Bessel de primeira e segunda espécies.
A equação em z
\frac{d^2 Z}{dz^2}-k^2\,Z=0
tem solução geral exponencial, que também se reescreve em termos de hiperbólicas:
Z(z)=C\,e^{\,kz}+D\,e^{-\,kz} \quad\Longleftrightarrow\quad Z(z)=C'\operatorname{cosh}(k\,z)+D'\operatorname{sinh}(k\,z).

Resposta

Equações separadas:
\frac{d^2 R}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{dR}{dr}+k^2\,R=0,\quad \frac{d^2 Z}{dz^2}-k^2\,Z=0.
Soluções:
R(r)=A\,J_{0}(k\,r)+B\,Y_{0}(k\,r), \quad Z(z)=C\,e^{kz}+D\,e^{-kz} \quad(\text{ou }C'\operatorname{cosh} kz+D'\operatorname{sinh} kz).

Exercícios relacionados