Suponha que um potencial em coordenadas cilíndricas é uma função de
e
, mas não de
. Escreva a equação de Laplace e obtenha as equações diferenciais separadas em
e
. Mostre que as soluções da equação em
são funções de Bessel, enquanto as soluções em
têm a forma de funções exponenciais ou hiperbólicas.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a equação de Laplace em coordenadas cilíndricas para um potencial
que não depende de
e depois separar variáveis assumindo
O conteúdo aqui é solução da equação de Laplace por separação de variáveis, levando a equações de Bessel em
e exponenciais ou hiperbólicas em
.
Passo 2
A equação de Laplace em coordenadas cilíndricas, sem dependência em
, é
Passo 3
Substituindo
e dividindo por
obtemos
Passo 4
Cada termo depende de variável diferente, logo deve ser igual a uma constante de separação, digamos
. Podemos escrever
Dessa forma surgem duas EDOs independentes:
Passo 5
A equação radial
é a equação de Bessel de ordem zero. Suas soluções gerais são
onde
e
são funções de Bessel de primeira e segunda espécies.
A equação em
A equação em
tem solução geral exponencial, que também se reescreve em termos de hiperbólicas:
Resposta
Equações separadas:
Soluções: