Em coordenadas esféricas, \mathrm{V}=865 \mathrm{~V} em r=50 \mathrm{~cm} e \mathbf{E}=748,2 \mathbf{r}, (V/m) em r=85 \mathrm{~cm}. Determine a localização da referência de tensão, se a função potencial depende somente de r. R: 250 cm

Passo 1

O enunciado dá uma simetria esférica, portanto o potencial V depende apenas de r e o campo elétrico é radial:
\mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{\mathbf r},\quad V(50\text{ cm})=865\text{ V},\quad E(85\text{ cm})=748{,}2\text{ V/m}.
Queremos achar r_{\rm ref} tal que V(r_{\rm ref})=0.

Passo 2

Em região livre de carga e com simetria esférica vale \nabla\cdot\mathbf E=0 e \nabla\times\mathbf E=0, daí o único campo radial possível é proporcional a 1/r^2:
E(r)=\frac{A}{r^2}\,,
onde A é constante.

Passo 3

Usamos o valor de E em r=85\text{ cm}=0{,}85\text{ m} para determinar A:
A=E(0{,}85)\,(0{,}85)^2 =748{,}2\;\bigl(\text{V/m}\bigr)\times(0{,}85\text{ m})^2 \approx540{,}8\;\text{V}\cdot\text{m}.

Passo 4

O potencial satisfaz
V(r)-V(r_{\rm ref}) =-\int_{r_{\rm ref}}^{r}E(r')\,dr' =-A\int_{r_{\rm ref}}^{r}\frac{dr'}{r'^2} =A\Bigl(\frac1r-\frac1{r_{\rm ref}}\Bigr).
Como escolhemos V(r_{\rm ref})=0, segue
V(r)=A\Bigl(\frac1r-\frac1{r_{\rm ref}}\Bigr).

Passo 5

Em r=50\text{ cm}=0{,}50\text{ m} sabemos V=865\text{ V}, logo
865 =540{,}8\Bigl(\frac1{0{,}50}-\frac1{r_{\rm ref}}\Bigr) =540{,}8\bigl(2-\tfrac1{r_{\rm ref}}\bigr).
Isolando \tfrac1{r_{\rm ref}}:
2-\frac1{r_{\rm ref}}=\frac{865}{540{,}8}\approx1{,}5996 \quad\Longrightarrow\quad \frac1{r_{\rm ref}}\approx2-1{,}5996=0{,}4004,
r_{\rm ref}\approx\frac1{0{,}4004}\approx2{,}498\text{ m}=249{,}8\text{ cm}\approx250\text{ cm}.

Resposta

A referência de tensão está em r=250\text{ cm}.

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