Suponha f(2)=-3, f^{\prime}(2)=-2, f^{\prime}(4)=-5, g(2)=4, g^{\prime}(2)=7 e g^{\prime}(-3)=10. Calcule h^{\prime}(2) nos seguintes casos:
h(x)=x f(x)+\sqrt{g(x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular h'(2) para a função
h(x)=x\,f(x)+\sqrt{g(x)},
sabendo que f(2)=-3, f'(2)=-2, g(2)=4 e g'(2)=7. Vamos usar regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para a primeira parcela x\,f(x), aplicamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x\,f(x)\bigr) = f(x) + x\,f'(x).

Passo 3

Para a segunda parcela \sqrt{g(x)}=g(x)^{1/2}, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\sqrt{g(x)} =\frac{d}{dx}\bigl(g(x)^{1/2}\bigr) =\frac{1}{2\,\sqrt{g(x)}}\;g'(x).

Passo 4

Somando as duas derivadas e avaliando em x=2, temos
h'(2) = \bigl[f(2)+2\,f'(2)\bigr] + \frac{g'(2)}{2\,\sqrt{g(2)}}.
Substituindo os valores:
h'(2) = \bigl[-3 + 2\cdot(-2)\bigr] + \frac{7}{2\cdot \sqrt{4}} = -3 -4 + \frac{7}{4} = -7 + \frac{7}{4} = -\frac{21}{4}.

Resposta

h'(2) = -\frac{21}{4}.

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