Suponha que \Psi(x, t) é a função de onda da partícula que se move em algum potencial V .
a) Prove que o produto \Psi^{*}(x, t) \Psi(x, t) é necessariamente real e não negativo. Qual é a interpretação física desse produto?
b) Usando \Psi(x, t) escreve como se pode calcular os valores médios de posição, momento e energia da partícula.

Passo 1

O enunciado dá que \Psi(x,t) é a função de onda de uma partícula num potencial V. Pede duas coisas:
  1. Mostrar que o produto \Psi^{*}(x,t)\,\Psi(x,t) é necessariamente real e não negativo, e dizer qual é a interpretação física desse produto.
  2. Usando \Psi(x,t), escrever as expressões para os valores médios (expectation values) de posição, momento e energia da partícula.
Informações relevantes que recebemos do enunciado:
\Psi(x,t) é uma função complexa (em geral) da posição x e do tempo t.
V é o potencial do sistema (assumiremos V(x) real, como é usual para partículas sem perdas).
Não nos foram dadas condições de contorno explícitas, então usaremos as condições físicas habituais: \Psi é normalizável ( \int_{-\infty}^{\infty}|\Psi|^2dx<\infty) e tende a zero nas fronteiras (por exemplo \Psi\to0 quando |x|\to\infty) para que integrais por partes descartem termos de contorno.

Passo 2

O que é \Psi^{*} e como manipular o produto \Psi^{*}\Psi.
  • Se \Psi é complexa, podemos escrever localmente \Psi(x,t)=u(x,t)+i\,v(x,t), onde u e v são funções reais (parte real e imaginária).
  • A conjugada complexa é \Psi^{*}(x,t)=u(x,t)-i\,v(x,t).
  • Multiplicando:
\Psi^{*}\Psi=(u-i v)(u+i v)=u^{2}+v^{2}.
  • Observações: u^{2}+v^{2} é real (soma de quadrados reais) e é maior ou igual a zero. Em termos de módulo complexo,
\Psi^{*}\Psi=|\Psi|^{2}\ge 0.
  • Outra forma de ver que é real: tomar a conjugada complexa do produto:
(\Psi^{*}\Psi)^{*}=\Psi^{**}\Psi^{*}=\Psi\Psi^{*}=\Psi^{*}\Psi,
logo é igual à sua conjugada e portanto real.
Conclusão técnica: \Psi^{*}(x,t)\Psi(x,t)=|\Psi(x,t)|^{2} é real e não negativo para todo x,t.

Passo 3

Interpretação física de \Psi^{*}\Psi.
  • Definimos a densidade de probabilidade
\rho(x,t)=|\Psi(x,t)|^{2}=\Psi^{*}(x,t)\Psi(x,t).
  • Interpretação: \rho(x,t)\,dx é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo [x,x+dx] em tempo t.
  • A normalização física diz que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é 1:
\int_{-\infty}^{\infty}\rho(x,t)\,dx=\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^{2}\,dx=1,
se a função de onda estiver normalizada. Se não estiver normalizada, a integral dá a probabilidade total (que devemos então dividir por ela para normalizar).
  • Exemplo simples (para fixar a ideia): se \Psi é tal que |\Psi(x,t)|^{2}=\delta(x-x_{0}) (função delta), então a partícula está certa de estar em x_{0}. Se |\Psi|^{2} é espalhada, a posição é incerta.

Passo 4

Valor médio (expectation value) de uma grandeza que depende de x: posição.
  • Conceito: o valor médio de uma quantidade A(x) é a média ponderada por \rho(x,t). Para a posição, A(x)=x.
  • Fórmula prática (como você deve escrever na prova):
\langle x\rangle(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,|\Psi(x,t)|^{2}\,dx.
  • Interpretação: \langle x\rangle é a posição média que se obteria repetindo o experimento muitas vezes e calculando a média das posições obtidas.

Passo 5

Valor médio do momento linear \hat{p} (no espaço de posições) e por que a fórmula usa derivada.
  • Na mecânica quântica a correspondência posição-momento no espaço de posição é feita pelo operador diferencial
\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x},
onde \hbar é a constante de Planck reduzida e i a unidade imaginária. Esse operador age sobre \Psi(x,t) produzindo outra função de x.
  • O valor médio do momento é dado por
\langle p\rangle(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*}(x,t)\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi(x,t)\,dx.
  • Por que essa expressão é real (importante para interpretar como valor físico)? Mostro a verificação curta, usando integração por partes e o fato físico \Psi\to 0 quando |x|\to\infty:
    • Defina I=-i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\,\partial_x\Psi\,dx.
    • O conjugado de I é
    I^{*}=i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\Psi\,\partial_x\Psi^{*}\,dx.
    • Integrando por partes o termo em I^{*}:
    I^{*}=i\hbar\left[\Psi\Psi^{*}\right]_{-\infty}^{\infty}-i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}(\partial_x\Psi)\,\Psi^{*}\,dx.
    • As condições físicas fazem o termo de fronteira \left[\Psi\Psi^{*}\right]_{-\infty}^{\infty}=0. Então
    I^{*}=-i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\,\partial_x\Psi\,dx=I.
    • Como I^{*}=I, I é real, logo \langle p\rangle é real.
  • Dica prática para a prova: sempre escreva o operador -i\hbar\partial_x entre \Psi^* e \Psi e verifique, se necessário, que as condições de contorno permitem descartar termos de fronteira.

Passo 6

Valor médio da energia: operador Hamiltoniano e fórmula prática.
  • Para uma partícula não relativística num potencial escalar real V(x), o Hamiltoniano (operador energia) em representação de posição é
\hat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2m}+V(x)=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x),
onde m é a massa da partícula.
  • O valor médio da energia (energia esperada) é
\langle E\rangle(t)=\langle H\rangle(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}(x,t)\,\hat{H}\,\Psi(x,t)\,dx.
  • Separando termos:
    • Termo potencial (multiplicação): \displaystyle \int \Psi^{*}V(x)\Psi\,dx=\int V(x)|\Psi|^{2}\,dx, que é real se V(x) for real.
    • Termo cinético (derivada segunda): \displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\int \Psi^{*}\,\partial_x^{2}\Psi\,dx. Para ver que esse termo é real, integra-se por partes duas vezes e usa-se que \Psi e suas derivadas apropriadas vão a zero nas fronteiras; o resultado é igual ao conjugado, garantindo que \langle H\rangle é real. (Em provas convém escrever as integrais por partes explicitamente quando pedirem a verificação.)
  • Observação: a hermiticidade de \hat{H} (isto é, \hat{H}=\hat{H}^{\dagger}) garante que \langle E\rangle seja real e mensurável.

Passo 7

Resumo didático do que escrever na prova (fórmulas prontas e interpretação curta).
  • Sempre deixe claro que \Psi deve ser normalizável e que assumimos \Psi\to0 nas fronteiras para descartar termos de contorno nas integrais por partes.
  • Fórmulas que você deve memorizar e escrever rápido na prova:
Posição:
\langle x\rangle(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,|\Psi(x,t)|^{2}\,dx.
Momento:
\langle p\rangle(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}(x,t)\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi(x,t)\,dx.
Energia (Hamiltoniano):
\langle E\rangle(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}(x,t)\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x)\right)\Psi(x,t)\,dx.
  • Interpretacão curta: |\Psi|^{2} é densidade de probabilidade; as expectativas são médias ponderadas por essa densidade, ou, mais generally, \langle \hat{O}\rangle=\int \Psi^{*}\hat{O}\Psi\,dx para um operador observável \hat{O} Hermitiano.

Resposta

a) \Psi^{*}(x,t)\Psi(x,t)=|\Psi(x,t)|^{2}\ge 0. Interpretação: é a densidade de probabilidade \rho(x,t); \rho(x,t)\,dx é a probabilidade de encontrar a partícula em [x,x+dx].
b) \displaystyle \langle x\rangle(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,|\Psi(x,t)|^{2}\,dx
\displaystyle \langle p\rangle(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}(x,t)\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi(x,t)\,dx
\displaystyle \langle E\rangle(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}(x,t)\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x)\right)\Psi(x,t)\,dx

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