Suponha que
é a função de onda da partícula que se move em algum potencial V .
a) Prove que o produto
é necessariamente real e não negativo. Qual é a interpretação física desse produto?
b) Usando
escreve como se pode calcular os valores médios de posição, momento e energia da partícula.
a) Prove que o produto
b) Usando
Passo 1
O enunciado dá que
é a função de onda de uma partícula num potencial
. Pede duas coisas:
- Mostrar que o produto
é necessariamente real e não negativo, e dizer qual é a interpretação física desse produto. - Usando
, escrever as expressões para os valores médios (expectation values) de posição, momento e energia da partícula.
Informações relevantes que recebemos do enunciado:
é uma função complexa (em geral) da posição
e do tempo
.
é o potencial do sistema (assumiremos
real, como é usual para partículas sem perdas).
Não nos foram dadas condições de contorno explícitas, então usaremos as condições físicas habituais: é normalizável (
) e tende a zero nas fronteiras (por exemplo
quando
) para que integrais por partes descartem termos de contorno.
Não nos foram dadas condições de contorno explícitas, então usaremos as condições físicas habituais:
Passo 2
O que é
e como manipular o produto
.
- Se
é complexa, podemos escrever localmente , onde e são funções reais (parte real e imaginária). - A conjugada complexa é
. - Multiplicando:
- Observações:
é real (soma de quadrados reais) e é maior ou igual a zero. Em termos de módulo complexo,
- Outra forma de ver que é real: tomar a conjugada complexa do produto:
logo é igual à sua conjugada e portanto real.
Conclusão técnica:
é real e não negativo para todo
.
Passo 3
Interpretação física de
.
- Definimos a densidade de probabilidade
- Interpretação:
é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo em tempo . - A normalização física diz que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço é
:
se a função de onda estiver normalizada. Se não estiver normalizada, a integral dá a probabilidade total (que devemos então dividir por ela para normalizar).
- Exemplo simples (para fixar a ideia): se
é tal que (função delta), então a partícula está certa de estar em . Se é espalhada, a posição é incerta.
Passo 4
Valor médio (expectation value) de uma grandeza que depende de
: posição.
- Conceito: o valor médio de uma quantidade
é a média ponderada por . Para a posição, . - Fórmula prática (como você deve escrever na prova):
- Interpretação:
é a posição média que se obteria repetindo o experimento muitas vezes e calculando a média das posições obtidas.
Passo 5
Valor médio do momento linear
(no espaço de posições) e por que a fórmula usa derivada.
- Na mecânica quântica a correspondência posição-momento no espaço de posição é feita pelo operador diferencial
onde
é a constante de Planck reduzida e
a unidade imaginária. Esse operador age sobre
produzindo outra função de
.
- O valor médio do momento é dado por
- Por que essa expressão é real (importante para interpretar como valor físico)? Mostro a verificação curta, usando integração por partes e o fato físico
quando : - Defina
. - O conjugado de
é
- Integrando por partes o termo em
:
- As condições físicas fazem o termo de fronteira
. Então
- Como
, é real, logo é real.
- Defina
- Dica prática para a prova: sempre escreva o operador
entre e e verifique, se necessário, que as condições de contorno permitem descartar termos de fronteira.
Passo 6
Valor médio da energia: operador Hamiltoniano e fórmula prática.
- Para uma partícula não relativística num potencial escalar real
, o Hamiltoniano (operador energia) em representação de posição é
onde
é a massa da partícula.
- O valor médio da energia (energia esperada) é
- Separando termos:
- Termo potencial (multiplicação):
, que é real se for real. - Termo cinético (derivada segunda):
. Para ver que esse termo é real, integra-se por partes duas vezes e usa-se que e suas derivadas apropriadas vão a zero nas fronteiras; o resultado é igual ao conjugado, garantindo que é real. (Em provas convém escrever as integrais por partes explicitamente quando pedirem a verificação.)
- Termo potencial (multiplicação):
- Observação: a hermiticidade de
(isto é, ) garante que seja real e mensurável.
Passo 7
Resumo didático do que escrever na prova (fórmulas prontas e interpretação curta).
- Sempre deixe claro que
deve ser normalizável e que assumimos nas fronteiras para descartar termos de contorno nas integrais por partes. - Fórmulas que você deve memorizar e escrever rápido na prova:
Posição:
Momento:
Energia (Hamiltoniano):
- Interpretacão curta:
é densidade de probabilidade; as expectativas são médias ponderadas por essa densidade, ou, mais generally, para um operador observável Hermitiano.
Resposta
a)
. Interpretação: é a densidade de probabilidade
;
é a probabilidade de encontrar a partícula em
.
b)
b)