Analise os estados eletrônicos em um átomo de hidrogênio que realizam a energia
eV. Qual é o número desses estados? Liste todas as autofunções eletrônicas
que descrevem esses estados (não precisam escrever as formas das funções, somente combinações dos números quânticos).
(2.0)
(2.0)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre os estados eletrônicos de um átomo de hidrogênio que têm energia
eV:
- Determinar o número total desses estados.
- Listar todas as autofunções eletrônicas
que descrevem esses estados (não precisa escrever as formas das funções, só as combinações dos números quânticos).
Informações fornecidas pelo enunciado:
- O átomo é o hidrogênio.
- A energia considerada é
eV. - Deve-se listar as autofunções na forma
, ou seja, os números quânticos para cada estado.
Passo 2
Começando pela fórmula da energia dos níveis do átomo de hidrogênio (modelo de Bohr / solução de Schrödinger para potencial coulombiano, não-relativístico):
onde
é o número quântico principal e
.
Queremos saber para quais valores de
temos
Igualando as expressões:
Cancelando
dos dois lados obtemos
pois
é positivo. Portanto todos os estados procurados pertencem ao nível principal
.
Passo 3
Agora precisamos listar todos os estados (autoestados) com
. Para isso lembro as regras dos números quânticos e seus intervalos:
-
(número quântico principal): . Aqui já fixamos . -
(número quântico azimutal ou orbital): . -
(número quântico magnético): (inteiros). -
(projeção do spin do elétron): ou .
Explicação intuitiva: para cada
há
valores de
. Somando sobre
a
dá o número de orbitais (degenerescência orbital) no nível
:
Cada orbital pode ter duas orientações de spin, então o número total de estados (incluindo spin) é
Passo 4
Aplicando isso para
:
- Soma dos
: para temos ; para temos . Soma . Logo há orbitais (degenerescência espacial). - Incluindo o spin (
), multiplicamos por : estados no total.
Agora vou construir as combinações de números quânticos para cada estado e apresentá-las no campo final. Método: listar todos os
possíveis (
e
), para cada
listar seus
, e para cada par
colocar as duas possibilidades de
.