Analise os estados eletrônicos em um átomo de hidrogênio que realizam a energia -13,6 / 4 eV. Qual é o número desses estados? Liste todas as autofunções eletrônicas \Psi_{n l m_{l} m_{s}} que descrevem esses estados (não precisam escrever as formas das funções, somente combinações dos números quânticos).
(2.0)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre os estados eletrônicos de um átomo de hidrogênio que têm energia -13,6/4 eV:
  1. Determinar o número total desses estados.
  2. Listar todas as autofunções eletrônicas \Psi_{n l m_{l} m_{s}} que descrevem esses estados (não precisa escrever as formas das funções, só as combinações dos números quânticos).
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • O átomo é o hidrogênio.
  • A energia considerada é -13,6/4 eV.
  • Deve-se listar as autofunções na forma \Psi_{n l m_{l} m_{s}}, ou seja, os números quânticos (n,l,m_{l},m_{s}) para cada estado.

Passo 2

Começando pela fórmula da energia dos níveis do átomo de hidrogênio (modelo de Bohr / solução de Schrödinger para potencial coulombiano, não-relativístico):
E_{n} = -\frac{13,6}{n^{2}}\\ \text{eV},
onde \,n é o número quântico principal e \,n\in\{1,2,3,\dots\}.
Queremos saber para quais valores de \,n temos
E_{n} = -\frac{13,6}{4}\\ \text{eV}.
Igualando as expressões:
-\frac{13,6}{n^{2}} = -\frac{13,6}{4}.
Cancelando -13,6 dos dois lados obtemos
\frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad n^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad n=2,
pois \,n é positivo. Portanto todos os estados procurados pertencem ao nível principal \,n=2.

Passo 3

Agora precisamos listar todos os estados (autoestados) com n=2. Para isso lembro as regras dos números quânticos e seus intervalos:
  • \,n (número quântico principal): n=1,2,3,\dots. Aqui já fixamos \,n=2.
  • \,l (número quântico azimutal ou orbital): \,l = 0,1,\dots,n-1.
  • \,m_{l} (número quântico magnético): \,m_{l} = -l,-l+1,\dots,0,\dots,l-1,l (inteiros).
  • \,m_{s} (projeção do spin do elétron): \,m_{s}=+\tfrac{1}{2} ou -\tfrac{1}{2}.
Explicação intuitiva: para cada l (2l+1) valores de m_{l}. Somando sobre l=0 a n-1 dá o número de orbitais (degenerescência orbital) no nível n:
\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1) = n^{2}.
Cada orbital pode ter duas orientações de spin, então o número total de estados (incluindo spin) é
2\cdot n^{2}.

Passo 4

Aplicando isso para \,n=2:
  • Soma dos (2l+1): para l=0 temos 2\cdot0+1=1; para l=1 temos 2\cdot1+1=3. Soma 1+3=4=n^{2}. Logo há 4 orbitais (degenerescência espacial).
  • Incluindo o spin ( m_{s}=\pm\tfrac{1}{2}), multiplicamos por 2: 2\cdot4=8 estados no total.
Agora vou construir as combinações de números quânticos para cada estado e apresentá-las no campo final. Método: listar todos os l possíveis ( 0 e 1), para cada l listar seus m_{l}, e para cada par (l,m_{l}) colocar as duas possibilidades de m_{s}.

Resposta

8
\Psi_{2,0,0,+\tfrac{1}{2}}
\Psi_{2,0,0,-\tfrac{1}{2}}
\Psi_{2,1,-1,+\tfrac{1}{2}}
\Psi_{2,1,-1,-\tfrac{1}{2}}
\Psi_{2,1,0,+\tfrac{1}{2}}
\Psi_{2,1,0,-\tfrac{1}{2}}
\Psi_{2,1,+1,+\tfrac{1}{2}}
\Psi_{2,1,+1,-\tfrac{1}{2}}

Exercícios relacionados