Suponha que uma salmoura contendo 0,1 \mathrm{~kg} de sal por litro entre em um tanque cheio com 1000 L de água pura. A salmoura entra no tanque a uma taxa de 6 L / \min. A mistura, mantida uniforme por agitação, está saindo na taxa de 6 L / \min.
(a) Supondo que a solução seja mantida bem agitada, determine a quantidade de sal no tanque em todos os instantes t>0.
Resposta: x(t)=100\left(1-e^{\frac{3 t}{500}}\right)
(b) Determine quando a concentração de sal no tanque alcançará 0,05 \mathrm{~kg} / L.
Resposta: t \approx 115,52 minutos.
(c) Suponhamos agora que a salmoura saia do tanque a uma vazão de 5 L / \min em vez de 6 L / \min, com tudo mais sendo igual. Determine a concentração de sal no tanque como uma função do tempo t>0 minutos.
Resposta: c(t)=0,1\left[1-(1000)^{6}(1000+t)^{-5}\right] \mathrm{kg} / \mathrm{L}

Passo 1

O enunciado descreve um problema de mistura: entra salmoura com concentração de 0{,}1,kg/L a 6,L/min num tanque com 1000,L de água pura, com agitação perfeita. Na parte (a) e (b) o volume é constante ( 6 L/min entram e 6 L/min saem); na parte (c) muda-se a vazão de saída para 5,L/min, de modo que o volume passa a ser V(t)=1000+t. Vamos modelar por uma EDO do tipo
\frac{dx}{dt}=\text{fluxo de sal dentro}-\text{fluxo de sal fora},
resolver para x(t) e depois achar a concentração.

Passo 2

Para as partes (a) e (b), o volume é fixo em 1000 L. O fluxo de sal que entra é
0{,}1\;\frac{\text{kg}}{\text{L}}\times6\;\frac{\text{L}}{\min}=0{,}6\;\frac{\text{kg}}{\min}.
O fluxo de sal que sai é a concentração \tfrac{x(t)}{1000} vezes 6 L/min, ou seja
\frac{6}{1000}\,x(t)=0{,}006\,x(t).
Logo a EDO é
\frac{dx}{dt}=0{,}6-0{,}006\,x,\quad x(0)=0.

Passo 3

A equação
\frac{dx}{dt}+0{,}006\,x=0{,}6
é linear de coeficiente constante. A solução geral é
x(t)=C\,e^{-0.006\,t}+x_\infty,
onde x_\infty=\tfrac{0.6}{0.006}=100. Impondo x(0)=0 C=-100. Portanto
x(t)=100\bigl(1-e^{-0.006\,t}\bigr)\quad\text{(kg).}

Passo 4

Para (b) queremos a concentração c(t)=\tfrac{x(t)}{1000}=0{,}05 kg/L, isto é x(t)=50. Assim
100\bigl(1-e^{-0.006\,t}\bigr)=50 \quad\Longrightarrow\quad e^{-0.006\,t}=0.5 \quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{\ln(0.5)}{0.006}\approx115{,}52\\ \text{min}.

Passo 5

Na parte (c) a vazão de saída é 5 L/min, a de entrada continua 6 L/min, logo o volume cresce:
V(t)=1000+(6-5)t=1000+t.
O balanço de sal passa a ser
\frac{dx}{dt}=0{,}6-\frac{5}{1000+t}\,x,
com x(0)=0. É uma EDO linear de coeficiente variável, cujo fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Bigl(\!\int\frac{5}{1000+t}\,dt\Bigr)=(1000+t)^5.
Integramos e obtemos
x(t) =0.1\,\frac{(1000+t)^6-1000^6}{(1000+t)^5}.

Passo 6

A concentração é
c(t)=\frac{x(t)}{V(t)} =\frac{x(t)}{1000+t} =0.1\Bigl[1-\Bigl(\frac{1000}{1000+t}\Bigr)^6\Bigr]\quad\frac{\text{kg}}{\text{L}}.

Resposta

(a) x(t)=100\bigl(1-e^{-0.006\,t}\bigr) kg
(b) t\approx115{,}52 min
(c) c(t)=0.1\Bigl[1-\bigl(\tfrac{1000}{1000+t}\bigr)^6\Bigr] kg/L

Exercícios relacionados