Suponha que uma salmoura contendo
de sal por litro entre em um tanque cheio com
de água pura. A salmoura entra no tanque a uma taxa de
. A mistura, mantida uniforme por agitação, está saindo na taxa de
.
(a) Supondo que a solução seja mantida bem agitada, determine a quantidade de sal no tanque em todos os instantes
.
Resposta:
(b) Determine quando a concentração de sal no tanque alcançará
.
Resposta:
minutos.
(c) Suponhamos agora que a salmoura saia do tanque a uma vazão de
em vez de
, com tudo mais sendo igual. Determine a concentração de sal no tanque como uma função do tempo
minutos.
Resposta:
(a) Supondo que a solução seja mantida bem agitada, determine a quantidade de sal no tanque em todos os instantes
Resposta:
(b) Determine quando a concentração de sal no tanque alcançará
(c) Suponhamos agora que a salmoura saia do tanque a uma vazão de
Resposta:
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura: entra salmoura com concentração de
,kg/L a
,L/min num tanque com
,L de água pura, com agitação perfeita. Na parte (a) e (b) o volume é constante (
L/min entram e
L/min saem); na parte (c) muda-se a vazão de saída para
,L/min, de modo que o volume passa a ser
. Vamos modelar por uma EDO do tipo
resolver para
e depois achar a concentração.
Passo 2
Para as partes (a) e (b), o volume é fixo em
L. O fluxo de sal que entra é
O fluxo de sal que sai é a concentração
vezes
L/min, ou seja
Logo a EDO é
Passo 3
A equação
é linear de coeficiente constante. A solução geral é
onde
. Impondo
dá
. Portanto
Passo 4
Para (b) queremos a concentração
kg/L, isto é
. Assim
Passo 5
Na parte (c) a vazão de saída é
L/min, a de entrada continua
L/min, logo o volume cresce:
O balanço de sal passa a ser
com
. É uma EDO linear de coeficiente variável, cujo fator integrante é
Integramos e obtemos
Passo 6
A concentração é
Resposta
(a)
kg
(b) min
(c) kg/L
(b)
(c)