Determine e classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=3 x y^{2}+x^{3}-3 x
Os pontos críticos de f são as soluções do sistema \left\{\begin{array}{l}f_{x}=0 \\\ f_{y}=0\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned} 3 y^{2}+3 x^{2}-3=0 & \text { as soluções são os pontos da circunferência } x^{2}+y^{2}=1 \text { que estão } \\\\ 6 x y=0 & \text { sobre o um dos eixos coordenados: }(1,0),(-1,0),(0,1) \text { e }(0,-1) \end{aligned}\right.çõãêã
Para classificar esses pontos críticos, usamos teste da derivada segunda
\begin{aligned} & f_{x x}=6 x \\\ & f_{y y}=6 x \Rightarrow D(x, y)=36 x^{2}-36 y^{2} \\\ & f_{x y}=6 y \end{aligned}
\begin{aligned} D(1,0) & =36>0 \text { e } f_{x x}(1,0)=6>0 \Rightarrow(1,0) \text { é ponto de mínimo local } \\\ D(-1,0) & =36>0 \text { e } f_{x x}(-1,0)=-6<0 \Rightarrow(-1,0) \text { é ponto de máximo local } \\\ D(0,1) & =-36<0 \Rightarrow(0,1) \text { é ponto de sela } \\\ D(0,-1) & =-36<0 \Rightarrow(0,-1) \text { é ponto de sela } \end{aligned}éíéáéé

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x,y)=3\,x\,y^{2}+x^{3}-3\,x
e classificá-los usando o teste da derivada segunda. Vamos precisar calcular as derivadas parciais f_{x}\) e \(f_{y}\), resolver o sistema \[\begin{cases} f_{x}=0,\\\ f_{y}=0, \end{cases}
depois montar a matriz Hessiana com (f_{xx},f_{yy},f_{xy}] e aplicar o discriminante
D = f_{xx}\,f_{yy} - \bigl(f_{xy}\bigr)^{2}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
f_{x}=3\,y^{2}+3\,x^{2}-3, \quad f_{y}=6\,x\,y.
O sistema f_{x}=0\) e \(f_{y}=0\) fica \[\begin{cases} 3\,y^{2}+3\,x^{2}-3=0,\\\\ 6\,x\,y=0. \end{cases}
Da segunda equação segue x=0\] ou \(y=0.
  • Se x=0, então 3\,y^{2}-3=0 implica y^{2}=1, obtendo (0,1) e (0,-1).
  • Se y=0, então 3\,x^{2}-3=0 implica x^{2}=1, obtendo (1,0) e (-1,0).

Passo 3

Agora as segundas derivadas:
f_{xx}=6\,x, \quad f_{yy}=6\,x, \quad f_{xy}=6\,y.
O discriminante da Hessiana é
D(x,y)=f_{xx}\,f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2} =36\,x^{2}-36\,y^{2}.

Passo 4

Avaliamos D e f_{xx} em cada ponto crítico:
  • Em (1,0):
D=36\cdot1^{2}-36\cdot0^{2}=36>0, \quad f_{xx}=6\cdot1=6>0
logo mínimo local.
  • Em (-1,0):
D=36\cdot(-1)^{2}-36\cdot0^{2}=36>0, \quad f_{xx}=6\cdot(-1)=-6<0
logo máximo local.
  • Em (0,1):
D=36\cdot0^{2}-36\cdot1^{2}=-36<0
logo ponto de sela.
  • Em (0,-1):
D=36\cdot0^{2}-36\cdot(-1)^{2}=-36<0
logo ponto de sela.

Resposta

(1,0) é ponto de mínimo local.
(-1,0) é ponto de máximo local.
(0,1) e (0,-1) são pontos de sela.

Exercícios relacionados