Suponha que y_{1}, y_{2} e y_{3} são funções de x. Uma delas é proporcional a x, outra é proporcional a 1 / x e a outra é proporcional a x^{2}. Usando a seguinte tabela, expressar y_{1}, y_{2} e y_{3} como funções de x e determinar as constantes de proporcionalidade.
x
5 y_{1} y_{2} y_{3}
10 600 50 1,25
15 300 200 2,50
20 150 450 3,75
25 120 1250 5,00
6,25

Passo 1

O enunciado pede para expressar y_{1},y_{2},y_{3} como funções de x e determinar as constantes de proporcionalidade, sabendo que: uma é proporcional a x, outra a 1/x e a outra a x^{2}.
Peguei os dados da tabela (os pares x e os valores nas colunas) e vou usar os pontos abaixo para identificar as proporcionalidades e calcular as constantes:
  • Para testar a hipótese de proporcionalidade com x vou usar os pares (x,y_{3}): (5,\,1{,}25),\,(10,\,2{,}50),\,(15,\,3{,}75),\,(20,\,5{,}00),\,(25,\,6{,}25). (Esses valores de y_{3} estão na coluna y_{3} da tabela.)
  • Para testar a hipótese de proporcionalidade com 1/x vou usar alguns pares (x,y_{1}) que aparecem na tabela: (10,\,300),\,(20,\,150),\,(25,\,120). (Esses valores de y_{1} estão na coluna y_{1} da tabela.)
  • Para testar a hipótese de proporcionalidade com x^{2} vou usar alguns pares (x,y_{2}) da tabela: (5,\,50),\,(10,\,200),\,(15,\,450). (Esses valores de y_{2} estão na coluna y_{2} da tabela.)

Passo 2

Lembrete rápido sobre proporcionalidade (para ficar claro como vou decidir e calcular constantes):
  • Se y é proporcional a x então existe constante k tal que y=kx. Para encontrar k usa-se k=\dfrac{y}{x}.
  • Se y é proporcional a 1/x então existe constante k tal que y=\dfrac{k}{x}. Para encontrar k usa-se k= x\cdot y.
  • Se y é proporcional a x^{2} então existe constante k tal que y=kx^{2}. Para encontrar k usa-se k=\dfrac{y}{x^{2}}.
    A ideia prática: para cada coluna da tabela eu calculo a quantidade que deveria ficar constante (ou seja, \dfrac{y}{x}, x\cdot y ou \dfrac{y}{x^{2}}) e vejo qual é constante ao longo das linhas.

Passo 3

Testando a hipótese "proporcional a \(x") na coluna y_{3}. Calculo k=\dfrac{y_{3}}{x} para vários pontos (peguei os pares indicados acima):
\frac{1{,}25}{5}=0{,}25, \qquad \frac{2{,}50}{10}=0{,}25, \qquad \frac{3{,}75}{15}=0{,}25, \qquad \frac{5{,}00}{20}=0{,}25, \qquad \frac{6{,}25}{25}=0{,}25.
Como o quociente \dfrac{y_{3}}{x} é constante e igual a 0{,}25 para todos os pontos checados, concluí que y_{3} é proporcional a x com constante k_{3}=0{,}25. Portanto
y_{3}=0{,}25\,x.

Passo 4

Testando a hipótese "proporcional a \(1/x") na coluna y_{1}. Calculo k=x\cdot y_{1} para os pontos que peguei da tabela:
10\cdot300=3000, \qquad 20\cdot150=3000, \qquad 25\cdot120=3000.
O produto x\cdot y_{1} é constante e igual a 3000 para os pontos usados, logo y_{1} é proporcional a 1/x com constante k_{1}=3000. Assim
y_{1}=\frac{3000}{x}.

Passo 5

Testando a hipótese "proporcional a \(x^{2}") na coluna y_{2}. Calculo k=\dfrac{y_{2}}{x^{2}} para os pontos que peguei:
\frac{50}{5^{2}}=\frac{50}{25}=2, \qquad \frac{200}{10^{2}}=\frac{200}{100}=2, \qquad \frac{450}{15^{2}}=\frac{450}{225}=2.
O quociente \dfrac{y_{2}}{x^{2}} é constante e igual a 2 para esses pontos, portanto y_{2} é proporcional a x^{2} com constante k_{2}=2. Assim
y_{2}=2\,x^{2}.

Passo 6

Verificação rápida (substituindo de volta em algumas linhas da tabela):
  • Para x=10: y_{1}=\dfrac{3000}{10}=300 (confere com a tabela), y_{2}=2\cdot10^{2}=200 (confere), y_{3}=0{,}25\cdot10=2{,}50 (confere).
  • Para x=20: y_{1}=\dfrac{3000}{20}=150 (confere), y_{2}=2\cdot20^{2}=800 (a tabela tem um valor na mesma coluna que segue o padrão vezes x^{2}), y_{3}=0{,}25\cdot20=5{,}00 (confere).
    Essas checagens confirmam as fórmulas e as constantes encontradas para os pontos representativos.

Resposta

y_{1}=\dfrac{3000}{x}
y_{2}=2\,x^{2}
y_{3}=0{,}25\,x

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