Suponha que x e y são funções da variável t e estão relacionadas pela equação x^3 - 2y^2 + 5x = 16. Se x = 2, y = -1 e dx/dt = 4, determine dy/dt.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que relaciona duas funções, e , com a variável . A equação é:
Nosso objetivo é descobrir como muda em relação a , ou seja, encontrar . Para isso, vamos precisar usar derivadas, especificamente a derivação implícita, porque está relacionada com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a . Lembre-se que e são funções de , então usamos a regra da cadeia.
Derivando cada termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante, como , é .
Então, a equação derivada fica:

Passo 3

Agora, a gente já sabe que , e . Vamos substituir esses valores na equação que obtivemos:
Calculando os números:

Passo 4

Vamos agora somar os termos constantes:
Para isolar , subtraímos 68 de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 4:

Resposta

A derivada de em relação a é .

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