Suponha que f seja uma função injetora, derivável e que sua função inversa seja também derivável. Use a derivação implícita para mostrar que
(f^-1)^prime(x)=1f^prime(f^-1(x))
desde que o denominador não seja 0 .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. A questão fala sobre uma função (f^-1)^prime(x) = 1f^prime(f^-1(x)) que é injetora (ou seja, cada entrada tem uma saída única), derivável, e que sua função inversa também é derivável. Nosso objetivo é mostrar, usando derivação implícita, que a derivada da função inversa é igual a:
Para isso, vamos precisar entender o que é função inversa, derivação implícita e como aplicar essas ideias para encontrar a derivada desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é função inversa. Se é uma função inversa, então ela “desfaz” o que faz. Em outras palavras, se , então .

Passo 3

Agora, vamos relacionar f(f^-1(x)) = x e usando essa definição. Temos que:
Isso significa que se aplicarmos na função inversa , voltamos ao original.

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a ddxf(f^-1(x)) = f'(f^-1(x)) cdot (f^-1)'(x) . Lembre-se que ddxx = 1 é uma função de , então precisamos usar a regra da cadeia para derivar o lado esquerdo.
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas obtidas:
f'(f^-1(x)) cdot (f^-1)'(x) = 1
Nosso objetivo é encontrar , então vamos isolar essa derivada.

Passo 6

Para isolar (f^-1)'(x) = 1f'(f^-1(x)) , dividimos ambos os lados da equação por :
Isso mostra exatamente o que queríamos provar, desde que o denominador não seja zero.

Resposta

Portanto, mostramos que:
(f^-1)^prime(x) = 1f^prime(f^-1(x))
desde que .

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