A pressão, o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação P V=8,31 T onde P é medi em quilopascals, V em litros e T em kelvins. Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 12 L para 12,3 L e a temperatura diminui de 310 K para 305 K .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a relação entre pressão ( P), volume ( V) e temperatura ( T) de um mol de gás ideal, dada pela equação P V = 8,31 T. Aqui, P está em quilopascals, V em litros e T em kelvins. Precisamos usar diferenciais para descobrir como a pressão muda quando o volume aumenta de 12,L para 12,3,L e a temperatura diminui de 310,K para 305,K.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são diferenciais. Diferenciais nos ajudam a encontrar a variação aproximada de uma função quando suas variáveis mudam um pouquinho. No nosso caso, queremos encontrar a variação na pressão ( dP) quando o volume ( V) muda de 12,L para 12,3,L (ou seja, dV = 0,3,L) e a temperatura ( T) muda de 310,K para 305,K (ou seja, dT = -5,K).

Passo 3

Vamos reescrever a equação para expressar a pressão em função do volume e da temperatura:
P = 8,31 TV
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de P com relação a V e T. Essas derivadas nos mostram como a pressão muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
  • Derivada parcial de P em relação a V:
partial Ppartial V = -8,31 TV^2
  • Derivada parcial de P em relação a T:
partial Ppartial T = 8,31V

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, podemos usar a fórmula dos diferenciais para encontrar dP:
dP = partial Ppartial V dV + partial Ppartial T dT
Substituindo as derivadas que calculamos:
dP = -8,31 TV^2 dV + 8,31V dT

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • V = 12,L
  • dV = 0,3,L
  • T = 310,K
  • dT = -5,K
Substituindo esses valores:
dP = -8,31 times 31012^2 times 0,3 + 8,3112 times (-5)

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo:
-8,31 times 310144 times 0,3 = -2576,1144 times 0,3 approx -17,89 times 0,3 approx -5,367,kPa
  1. Segundo termo:
8,3112 times (-5) = 0,6925 times (-5) = -3,4625,kPa

Passo 7

Agora, somamos os dois termos para encontrar a variação total na pressão:
dP = -5,367,kPa - 3,4625,kPa = -8,8295,kPa

Resposta

A variação aproximada da pressão é de -8,83,kPa. Isso significa que a pressão diminui em aproximadamente 8,83,kPa quando o volume aumenta de 12,L para 12,3,L e a temperatura diminui de 310,K para 305,K.

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