A pressão, o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão relacionados pela equação
onde
é medi em quilopascals,
em litros e
em kelvins. Utilize diferenciais para determinar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de
para
e a temperatura diminui de 310 K para 305 K .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a relação entre pressão (
), volume (
) e temperatura (
) de um mol de gás ideal, dada pela equação
. Aqui,
está em quilopascals,
em litros e
em kelvins. Precisamos usar diferenciais para descobrir como a pressão muda quando o volume aumenta de
para
e a temperatura diminui de
para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são diferenciais. Diferenciais nos ajudam a encontrar a variação aproximada de uma função quando suas variáveis mudam um pouquinho. No nosso caso, queremos encontrar a variação na pressão (
) quando o volume (
) muda de
para
(ou seja,
) e a temperatura (
) muda de
para
(ou seja,
).
Passo 3
Vamos reescrever a equação para expressar a pressão em função do volume e da temperatura:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
com relação a
e
. Essas derivadas nos mostram como a pressão muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, podemos usar a fórmula dos diferenciais para encontrar
:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Substituindo esses valores:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Passo 7
Agora, somamos os dois termos para encontrar a variação total na pressão:
Resposta
A variação aproximada da pressão é de
. Isso significa que a pressão diminui em aproximadamente
quando o volume aumenta de
para
e a temperatura diminui de
para
.