1. Suponha que X seja uma variável aleatória contínua cuja função densidade de probabilidade é dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} C\left(4 x-2 x^{2}\right), & \text { se } 0<x<2 \\\\ 0, & \text { se } \quad \text { caso contrário. } \end{array}\right.á
(a) Qual é o valor de C ?
(b) Determine P\{X>1\}
(c) Qual é a função acumulada de probabilidade de X ?

Passo 1

O enunciado dá a função densidade de probabilidade
f(x)=\begin{cases} C\bigl(4x-2x^{2}\bigr), & \text{se }0<x<2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
As perguntas são:
  1. Qual é o valor de C ?
  2. Determine P\{X>1\}.
  3. Qual é a função acumulada de probabilidade de X (a CDF)?
Informações relevantes fornecidas:
f(x)=C(4x-2x^{2})\\ \text{ em }\\\ 0<x<2,\quad f(x)=0\\ \text{ fora desse intervalo.}
Não há outras indicações; portanto devemos usar as propriedades básicas de densidade (integral igual a 1) e definição de probabilidade por integração para variáveis contínuas.]

Passo 2

Conceito essencial (aula rápida): para uma função ser densidade de probabilidade de uma variável contínua, ela deve satisfazer
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
No nosso caso f(x) é zero fora de (0,2), então a condição vira
\int_{0}^{2} C\bigl(4x-2x^{2}\bigr)\,dx = 1.
Antes de integrar, lembro duas regras de integração que usaremos: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + \text{constante},
e a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Também
\int a x\,dx = a\frac{x^{2}}{2},\qquad \int b x^{2}\,dx = b\frac{x^{3}}{3}.

Passo 3

Calculemos a integral passo a passo:
\int_{0}^{2} C\bigl(4x-2x^{2}\bigr)\,dx = C\int_{0}^{2}\bigl(4x-2x^{2}\bigr)\,dx.
Agora integramos o integrando:
\int\bigl(4x-2x^{2}\bigr)\,dx = 4\int x\,dx -2\int x^{2}\,dx =4\cdot\frac{x^{2}}{2}-2\cdot\frac{x^{3}}{3} =2x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}.
Avalio de 0 a 2:
\left(2x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\right)\Bigg|_{0}^{2} = \left(2\cdot 2^{2}-\frac{2}{3}\cdot 2^{3}\right)-0 = \left(2\cdot 4-\frac{2}{3}\cdot 8\right) =8-\frac{16}{3}.
Simplificando:
8-\frac{16}{3}=\frac{24-16}{3}=\frac{8}{3}.
Portanto a condição de normalização fica
C\cdot\frac{8}{3}=1.

Passo 4

Resolvendo para C:
C=\frac{1}{8/3}=\frac{3}{8}.
Comentário prático: sempre que tiver uma densidade com constante multiplicativa, a normalização dá uma equação linear em C que você resolve assim — integre a parte sem C e divida 1 pelo resultado.

Passo 5

Agora vamos calcular P\{X>1\}. Definição e opções: para variável contínua,
P\{X>1\}=\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx.
Como f(x)=0 para x\ge 2, a integral reduz a
P\{X>1\}=\int_{1}^{2} f(x)\,dx = \int_{1}^{2} \frac{3}{8}\bigl(4x-2x^{2}\bigr)\,dx.
Podemos usar diretamente a primitiva que já calculamos antes, que era
2x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}.
Multiplicando pela constante \frac{3}{8} e avaliando de 1 a 2:
P\{X>1\}=\frac{3}{8}\left(2x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\right)\Bigg|_{1}^{2}.

Passo 6

Avaliação numérica passo a passo:
Calcule o valor em x=2:
2\cdot 2^{2}-\frac{2}{3}\cdot 2^{3}=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}.
Calcule o valor em x=1:
2\cdot 1^{2}-\frac{2}{3}\cdot 1^{3}=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
Diferença:
\frac{8}{3}-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}.
Multiplicando pela constante \frac{3}{8}:
P\{X>1\}=\frac{3}{8}\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.
Observação útil: você também poderia calcular P\{X>1\}=1-P\{X\le 1\}=1-F(1), onde F é a CDF; ambos os caminhos batem.

Passo 7

Agora vamos encontrar a função acumulada de probabilidade F(x)=P(X\le x). Por definição,
para qualquer x,
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Como f(t)=0 para t\le 0 e para t\ge 2 fora do intervalo (0,2), a CDF é peçawise:
  • Para x\le 0:
F(x)=0.
  • Para 0<x<2:
F(x)=\int_{0}^{x} \frac{3}{8}\bigl(4t-2t^{2}\bigr)\,dt = \frac{3}{8}\left(2t^{2}-\frac{2}{3}t^{3}\right)\Bigg|_{0}^{x}.
Isso dá
F(x)=\frac{3}{8}\left(2x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\right).

Passo 8

Simplificamos a expressão algébrica da CDF para 0<x<2:
F(x)=\frac{3}{8}\cdot 2x^{2}-\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{3}x^{3} =\frac{3}{4}x^{2}-\frac{1}{4}x^{3}.
  • Para x\ge 2: como toda a massa está em (0,2),
F(x)=1.
Verificação rápida: em x=0 a fórmula dá 0; em x=2 \frac{3}{4}\cdot 4-\frac{1}{4}\cdot 8=3-2=1, portanto é contínua e consistente.

Resposta

(a) C=\dfrac{3}{8}
(b) P\{X>1\}=\dfrac{1}{2}
(c) F(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0,\\[4pt] \dfrac{3}{4}x^{2}-\dfrac{1}{4}x^{3}, & 0<x<2,\\[6pt] 1, & x\ge 2. \end{cases}]

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