Se X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro \alpha=1, calcule a função densidade e a função acumulada de probabilidade da variável aleatória Y definida \operatorname{com} Y=\log X.
20. Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo ( 0,1 ), calcule a função densidade e função acumulada de probabilidade da variável aleatória Y definida \operatorname{com} Y=e^{X}.
\text { R. } g(y)=\frac{1}{y}'
Passo 1
Enunciados e dados que temos (separei os dois exercícios claramente):
Enunciado 1: X é uma v.a. exponencial com parâmetro \alpha=1. Foi definida Y=\log X. Pergunta: calcular a função densidade de probabilidade (pdf) de Y e a função acumulada de probabilidade (cdf) de Y.
Dado: a pdf de X é f_X(x)=e^{-x} para x>0.
Enunciado 2: X é uma v.a. uniforme em (0,1). Foi definida Y=e^{X}. Pergunta: calcular a pdf de Y e a cdf de Y.
Dado: a pdf de X é f_X(x)=1 para 0<x<1.
Passo 2
Ideia e fórmula geral (método que vamos usar). Vou te explicar devagar, como se estivéssemos resolvendo isso na prova.
Se Y=h(X) e h é monótona (aqui ambas as transformações são monótonas crescentes), então para qualquer y existe o inverso x=h^{-1}(y). A razão é que eventos do tipo Y\le y equivalem a X\le h^{-1}(y) (quando h é crescente). Escrevendo em probabilidade:
F_Y(y)=P(Y\le y)=P\big(X\le h^{-1}(y)\big).
Diferenciando (quando tudo é contínuo) dá a pdf. A fórmula prática — muito usada em provas — é:
f_X(\cdot) é a densidade de X. Você avalia em x=h^{-1}(y) porque estamos mudando de variável.
\left|\frac{d}{dy}\,h^{-1}(y)\right| é o fator de escala (Jacobian) que transforma a densidade em x para a densidade em y.
Esse fator aparece porque pequenos intervalos em y correspondem a intervalos em x com tamanho diferente: dx = \frac{d}{dy}h^{-1}(y)\,dy.
Exemplo simples para fixar: se Y=2X e X tem pdf f_X, então h^{-1}(y)=y/2 e \frac{d}{dy}h^{-1}(y)=1/2, logo f_Y(y)=f_X(y/2)\cdot\frac{1}{2}. Ok, agora vamos aplicar isso passo a passo nos dois exercícios.
Passo 3
Aplicando ao Enunciado 1 (X\sim exponencial com \alpha=1 e Y=\log X).
Encontre o inverso da transformação: Y=\log X implica X=e^{Y}. Portanto h^{-1}(y)=e^{y}.
Calcule o derivado do inverso (o Jacobiano):
\frac{d}{dy}\,h^{-1}(y)=\frac{d}{dy}e^{y}=e^{y}.
Avalie f_X no inverso: f_X(x)=e^{-x} para x>0. Substituindo x=e^{y} obtemos f_X\big(e^{y}\big)=e^{-e^{y}}.
Agora o domínio: como X>0, Y=\log X varia por todos os reais, ou seja y\in(-\infty,\infty). Logo a pdf é f_Y(y)=e^{y}e^{-e^{y}} para todo y\in(-\infty,\infty).