Se X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro \alpha=1, calcule a função densidade e a função acumulada de probabilidade da variável aleatória Y definida \operatorname{com} Y=\log X.
20. Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo ( 0,1 ), calcule a função densidade e função acumulada de probabilidade da variável aleatória Y definida \operatorname{com} Y=e^{X}.
\text { R. } g(y)=\frac{1}{y}'

Passo 1

Enunciados e dados que temos (separei os dois exercícios claramente):
  1. Enunciado 1: X é uma v.a. exponencial com parâmetro \alpha=1. Foi definida Y=\log X. Pergunta: calcular a função densidade de probabilidade (pdf) de Y e a função acumulada de probabilidade (cdf) de Y.
    Dado: a pdf de X é f_X(x)=e^{-x} para x>0.
  2. Enunciado 2: X é uma v.a. uniforme em (0,1). Foi definida Y=e^{X}. Pergunta: calcular a pdf de Y e a cdf de Y.
    Dado: a pdf de X é f_X(x)=1 para 0<x<1.

Passo 2

Ideia e fórmula geral (método que vamos usar). Vou te explicar devagar, como se estivéssemos resolvendo isso na prova.
Se Y=h(X) e h é monótona (aqui ambas as transformações são monótonas crescentes), então para qualquer y existe o inverso x=h^{-1}(y). A razão é que eventos do tipo Y\le y equivalem a X\le h^{-1}(y) (quando h é crescente). Escrevendo em probabilidade:
F_Y(y)=P(Y\le y)=P\big(X\le h^{-1}(y)\big).
Diferenciando (quando tudo é contínuo) dá a pdf. A fórmula prática — muito usada em provas — é:
f_Y(y)=f_X\big(h^{-1}(y)\big)\cdot\left|\frac{d}{dy}\,h^{-1}(y)\right|.
Explicando cada peça:
  • f_X(\cdot) é a densidade de X. Você avalia em x=h^{-1}(y) porque estamos mudando de variável.
  • \left|\frac{d}{dy}\,h^{-1}(y)\right| é o fator de escala (Jacobian) que transforma a densidade em x para a densidade em y.
    Esse fator aparece porque pequenos intervalos em y correspondem a intervalos em x com tamanho diferente: dx = \frac{d}{dy}h^{-1}(y)\,dy.
Exemplo simples para fixar: se Y=2X e X tem pdf f_X, então h^{-1}(y)=y/2 e \frac{d}{dy}h^{-1}(y)=1/2, logo f_Y(y)=f_X(y/2)\cdot\frac{1}{2}. Ok, agora vamos aplicar isso passo a passo nos dois exercícios.

Passo 3

Aplicando ao Enunciado 1 ( X\sim exponencial com \alpha=1 e Y=\log X).
  1. Encontre o inverso da transformação: Y=\log X implica X=e^{Y}. Portanto h^{-1}(y)=e^{y}.
  2. Calcule o derivado do inverso (o Jacobiano):
\frac{d}{dy}\,h^{-1}(y)=\frac{d}{dy}e^{y}=e^{y}.
  1. Avalie f_X no inverso: f_X(x)=e^{-x} para x>0. Substituindo x=e^{y} obtemos f_X\big(e^{y}\big)=e^{-e^{y}}.
  2. Use a fórmula da mudança de variável:
f_Y(y)=f_X\big(h^{-1}(y)\big)\cdot\left|\frac{d}{dy}h^{-1}(y)\right|
f_Y(y)=e^{-e^{y}}\cdot e^{y}=e^{y}\,e^{-e^{y}}.
Agora o domínio: como X>0, Y=\log X varia por todos os reais, ou seja y\in(-\infty,\infty). Logo a pdf é f_Y(y)=e^{y}e^{-e^{y}} para todo y\in(-\infty,\infty).
  1. Cálculo da cdf (é direto e ajuda a entender):
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(\log X\le y)=P(X\le e^{y})=F_X(e^{y}).
A cdf de X exponencial com \alpha=1 é F_X(x)=1-e^{-x} para x>0. Substituindo:
F_Y(y)=1-e^{-e^{y}}.
Observação rápida de consistência: derivando F_Y(y) em relação a y obtemos
\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{d}{dy}\big(1-e^{-e^{y}}\big)=e^{y}e^{-e^{y}}=f_Y(y),
o que confere com a pdf encontrada.

Passo 4

Aplicando ao Enunciado 2 ( X\sim uniforme em (0,1) e Y=e^{X}).
  1. Inverso da transformação: Y=e^{X} implica X=\log Y. Então h^{-1}(y)=\log y.
  2. Derivado do inverso (Jacobian):
\frac{d}{dy}\,h^{-1}(y)=\frac{d}{dy}\log y=\frac{1}{y}.
  1. Avalie f_X no inverso: f_X(x)=1 para 0<x<1. Para x=\log y isso exige 0<\log y<1, isto é 1<y<e. Quando y\notin(1,e) teremos f_X(\log y)=0.
  2. Use a fórmula:
f_Y(y)=f_X\big(h^{-1}(y)\big)\cdot\left|\frac{d}{dy}h^{-1}(y)\right|
f_Y(y)=1\cdot\frac{1}{y}=\frac{1}{y},\quad\text{para }1<y<e,
e f_Y(y)=0 para y\le 1 ou y\ge e.
  1. Cálculo da cdf (direto e intuitivo): para y em (1,e),
F_Y(y)=P(Y\le y)=P(e^{X}\le y)=P(X\le\log y).
Como X é uniforme em (0,1), sua cdf é F_X(x)=0 se x\le 0, F_X(x)=x se 0<x<1, e F_X(x)=1 se x\ge 1. Assim:
  • Se y\le 1, então \log y\le 0 e F_Y(y)=0.
  • Se 1<y<e, então 0<\log y<1 e F_Y(y)=\log y.
  • Se y\ge e, então \log y\ge 1 e F_Y(y)=1.
Verificação rápida integrando a pdf: para 1<y<e,
\int_{1}^{y}\frac{1}{t}\,dt=\big[\log t\big]_{1}^{y}=\log y,
coincide com a cdf acima.

Resposta

\text{Para }Y=\log X\text{ com }X\sim\text{Exp}(1):\n
f_Y(y)=e^{y}e^{-e^{y}},\quad y\in(-\infty,\infty)\n
F_Y(y)=1-e^{-e^{y}},\quad y\in(-\infty,\infty)\n
\text{Para }Y=e^{X}\text{ com }X\sim\text{Unif}(0,1):\n
f_Y(y)=\frac{1}{y},\quad 1<y<e e f_Y(y)=0 caso contrário\n
F_Y(y)=0,\; y\le 1;\quad F_Y(y)=\log y,\; 1<y<e;\quad F_Y(y)=1,\; y\ge e

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