Suponha que f e g sejam funções contínuas, tais que lim x 2[f(x)+4 g(x)]=13 e f(2)=1. Encontre: g(2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem duas funções contínuas, e , e algumas informações sobre os limites delas quando se aproxima de 2. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de . Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função limx to a h(x) = h(a) é contínua em um ponto se:
Isso quer dizer que o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Sabemos que limx to 2 f(x) = f(2) e limx to 2 g(x) = g(2) são contínuas. Então, podemos aplicar a definição de continuidade para cada uma delas no ponto 2:

Passo 4

Agora, vamos olhar para a expressão que envolve o limite das duas funções juntas:
limx to 2 [f(x) + 4g(x)] = 13
Como limx to 2 f(x) + 4 limx to 2 g(x) = 13 e f(2) + 4g(2) = 13 são contínuas, podemos separar o limite:
Substituindo pelos valores das funções no ponto 2, ficamos com:

Passo 5

A gente sabe que 1 + 4g(2) = 13 . Então, vamos substituir esse valor na equação:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar 4g(2) = 13 - 1 :
4g(2) = 12
g(2) = 124
g(2) = 3

Resposta

O valor de é igual a 3.

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