Suponha que sigma e sigma' sejam funções com valores vetoriais, definidas em um intervalo, e sigma' seja derivável no intervalo. Mostre que
d/dt [sigma'(t) * sigma(t)] = ||sigma'(t)||^2 + sigma(t) * sigma''(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a derivada, em relação a , do produto escalar entre e é igual a . Isso envolve conceitos de cálculo de derivadas de funções vetoriais e produto escalar. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto para derivadas e entender como derivar produtos escalares de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e são funções vetoriais, então o produto é um número real, resultante do produto escalar entre os dois vetores. Queremos encontrar a derivada desse produto em relação a , ou seja:

Passo 3

Para derivar o produto escalar, usamos a regra do produto para derivadas, que diz que a derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Aplicando isso:

Passo 4

Vamos agora derivar cada termo separadamente. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Substituindo essas derivadas na equação:

Passo 5

Observamos que é o produto escalar de consigo mesmo, o que resulta no quadrado da norma de , ou seja, . Então, reescrevemos a equação:

Resposta

Portanto, mostramos que

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