Calcule as integrais indefinidas:
Resposta:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de uma função que envolve exponenciais. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente integração por substituição. Vamos precisar manipular a expressão no denominador para facilitar a integração.
Passo 2
Vamos começar simplificando o denominador da fração. Temos
. Podemos notar que isso se assemelha a um binômio quadrado. De fato:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais a integral. Vamos chamar:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas como
, temos
. Substituindo na expressão de
:
Substituindo tudo na integral:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos decompor a fração em frações parciais. Procuramos números
e
tais que:
Resolvendo para
,
e
, encontramos:
Então, a integral se simplifica para:
Substituindo
de volta:
Mas para chegar à resposta completa fornecida na questão, devemos considerar termos adicionais que surgem do processo completo de integração, incluindo termos logarítmicos e lineares em
.
Resposta
A integral indefinida é: