Suponha que num trem com velocidade constante de 360 \mathrm{~km} / \mathrm{h}(100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) haja um pêndulo oscilando, cujo período, medido no interior do trem, é de 2,0 \mathrm{~s}. (Dado: velocidade da luz no vácuo: c= 3,0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.)
Qual deveria ser a velocidade do trem para que o observador externo obtivesse um intervalo de tempo de 2,000002 \mathrm{~s} ? (Considere na resposta até sete algarismos significativos.)

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (todos os números foram tirados do enunciado):
  • Velocidade indicada do trem mencionada no enunciado: 360\\ \mathrm{km/h}=100\\ \mathrm{m/s} (essa é uma informação fornecida, mas não é a velocidade que vamos calcular).
  • Período medido no interior do trem (tempo próprio do pêndulo): \tau = 2{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Intervalo de tempo medido pelo observador externo desejado: t = 2{,}000002\\ \mathrm{s}.
  • Velocidade da luz: c = 3{,}0\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Pergunta que o exercício faz:
  • Qual deve ser a velocidade do trem para que o observador externo meça t = 2{,}000002\\ \mathrm{s} quando o tempo próprio é \tau = 2{,}0\\ \mathrm{s} ?

Passo 2

Conceito fundamental (aula rápida e amigável): efeito relativístico que vamos usar.
  • Em relatividade restrita, intervalos de tempo medidos entre dois eventos que ocorrem no mesmo lugar no referencial do relógio (aqui: o pêndulo e um relógio dentro do trem) chamam-se tempos próprios \tau.
  • Um observador em movimento relativo ao relógio medirá um tempo dilatado t maior que \tau. A fórmula da dilatação temporal é
t = \gamma\,\tau,
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}
é o fator de Lorentz, v é a velocidade relativa entre observador e relógio, e c é a velocidade da luz.
  • Explicando as variáveis de forma bem simples:
    • \tau: tempo medido no trem (relógio que está junto ao pêndulo) — aqui \tau=2{,}0\\ \mathrm{s}.
    • t: tempo medido pelo observador externo — aqui t=2{,}000002\\ \mathrm{s}.
    • v: velocidade relativa entre observador externo e trem (é o que queremos achar).
    • \gamma: função de v que torna t maior que \tau.

Passo 3

Isolar v em termos de t e \tau.
  • Primeiro escrevemos \gamma = t/\tau.
  • Como \gamma = 1/\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}, invertemos e isolamos v:
\frac{1}{\gamma^{2}} = 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{v^{2}}{c^{2}} = 1 - \frac{1}{\gamma^{2}}
\Rightarrow\quad v = c\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^{2}}}.
  • Substituindo \gamma = t/\tau fica uma fórmula direta em termos dos tempos:
v = c\sqrt{1 - \left(\frac{\tau}{t}\right)^{2}}.

Passo 4

Aplicar numericamente com os números dados.
  • Primeiro calculemos \gamma:
\gamma = \frac{t}{\tau} = \frac{2{,}000002}{2{,}0} = 1{,}000001.
  • Usando a fórmula direta:
v = c\sqrt{1 - \left(\frac{\tau}{t}\right)^{2}}.
Calcule \left(\dfrac{\tau}{t}\right)^{2}:
\left(\frac{\tau}{t}\right)^{2} = \left(\frac{2{,}0}{2{,}000002}\right)^{2} = \left(\frac{1}{1{,}000001}\right)^{2} = \frac{1}{1{,}000002000001}\approx 0{,}999998000004.
Portanto
1 - \left(\frac{\tau}{t}\right)^{2}\approx 1{,}999996\times 10^{-6}.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{1 - \left(\frac{\tau}{t}\right)^{2}}\approx \sqrt{1{,}999996\times 10^{-6}}\approx 1{,}414212855\times 10^{-3}.
Finalmente:
v = c\cdot 1{,}414212855\times 10^{-3} = (3{,}0\times 10^{8})\cdot 1{,}414212855\times 10^{-3} \approx 4{,}242638565\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Checagem por aproximação (intuição útil para prova).
  • Para pequenos desvios \Delta t = t-\tau com \Delta t \ll \tau, pode-se aproximar \gamma \approx 1 + \tfrac{1}{2}\beta^{2} com \beta=v/c. Então
\Delta t \approx \tau\left(\gamma-1\right)\approx \tau\cdot \frac{\beta^{2}}{2} \quad\Rightarrow\quad \beta \approx \sqrt{\frac{2\Delta t}{\tau}}.
  • Aqui \Delta t = 2{,}000002-2{,}0 = 2{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}. Logo
\beta \approx \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}0\times 10^{-6}}{2{,}0}}=\sqrt{2{,}0\times 10^{-6}}=1{,}41421356\times 10^{-3},
o que dá
v \approx c\cdot 1{,}41421356\times 10^{-3}\approx 4{,}2426407\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
Essa aproximação fica muito próxima do valor exato calculado no passo anterior (diferença nas casas decimais finais), confirmando que o resultado está coerente.

Passo 6

Arredondamento conforme solicitado.
  • O enunciado pede considerar até sete algarismos significativos. Escrevendo o valor com sete algarismos significativos em notação científica:
v \approx 4{,}242639\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v = 4{,}242639\times 10^{5}\\ \mathrm{m/s}

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