Suponha que num trem com velocidade constante de
haja um pêndulo oscilando, cujo período, medido no interior do trem, é de
. (Dado: velocidade da luz no vácuo:
.)
Qual deveria ser a velocidade do trem para que o observador externo obtivesse um intervalo de tempo de
? (Considere na resposta até sete algarismos significativos.)
Qual deveria ser a velocidade do trem para que o observador externo obtivesse um intervalo de tempo de
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (todos os números foram tirados do enunciado):
- Velocidade indicada do trem mencionada no enunciado:
(essa é uma informação fornecida, mas não é a velocidade que vamos calcular). - Período medido no interior do trem (tempo próprio do pêndulo):
. - Intervalo de tempo medido pelo observador externo desejado:
. - Velocidade da luz:
.
Pergunta que o exercício faz:
- Qual deve ser a velocidade do trem para que o observador externo meça
quando o tempo próprio é ?
Passo 2
Conceito fundamental (aula rápida e amigável): efeito relativístico que vamos usar.
- Em relatividade restrita, intervalos de tempo medidos entre dois eventos que ocorrem no mesmo lugar no referencial do relógio (aqui: o pêndulo e um relógio dentro do trem) chamam-se tempos próprios
. - Um observador em movimento relativo ao relógio medirá um tempo dilatado
maior que . A fórmula da dilatação temporal é
onde
é o fator de Lorentz,
é a velocidade relativa entre observador e relógio, e
é a velocidade da luz.
- Explicando as variáveis de forma bem simples:
-
: tempo medido no trem (relógio que está junto ao pêndulo) — aqui . -
: tempo medido pelo observador externo — aqui . -
: velocidade relativa entre observador externo e trem (é o que queremos achar). -
: função de que torna maior que .
-
Passo 3
Isolar
em termos de
e
.
- Primeiro escrevemos
. - Como
, invertemos e isolamos :
- Substituindo
fica uma fórmula direta em termos dos tempos:
Passo 4
Aplicar numericamente com os números dados.
- Primeiro calculemos
:
- Usando a fórmula direta:
Calcule
:
Portanto
Agora a raiz quadrada:
Finalmente:
Passo 5
Checagem por aproximação (intuição útil para prova).
- Para pequenos desvios
com , pode-se aproximar com . Então
- Aqui
. Logo
o que dá
Essa aproximação fica muito próxima do valor exato calculado no passo anterior (diferença nas casas decimais finais), confirmando que o resultado está coerente.
Passo 6
Arredondamento conforme solicitado.
- O enunciado pede considerar até sete algarismos significativos. Escrevendo o valor com sete algarismos significativos em notação científica: