Suponha que u, v, w são vetores tais que lang<= u, vrang<==2,lang<= u, wrang<==-3,lang<= v, wrang<==5,|u|=1,|v|=2 e |w|=1. Calcule: |u+v+w|

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores com algumas informações sobre os produtos internos e as normais deles. Nosso objetivo é calcular a norma de , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar propriedades de produtos internos e normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor é dada por . Então, para calcular , precisamos encontrar .

Passo 3

Vamos expandir o produto interno lang<= u + v + w, u + v + w rang<= = lang<= u, u rang<= + lang<= u, v rang<= + lang<= u, w rang<= + lang<= v, u rang<= + lang<= v, v rang<= + lang<= v, w rang<= + lang<= w, u rang<= + lang<= w, v rang<= + lang<= w, w rang<= . Usando a propriedade distributiva do produto interno, temos:

Passo 4

Sabemos que o produto interno é comutativo, ou seja, lang<= u + v + w, u + v + w rang<= = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + 2lang<= u, w rang<= + |v|^2 + 2lang<= v, w rang<= + |w|^2 . Então, podemos simplificar a expressão:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que nos foram dados:
|u| = 1 Rightarrow |u|^2 = 1
|v| = 2 Rightarrow |v|^2 = 4
|w| = 1 Rightarrow |w|^2 = 1
lang<= u, v rang<= = 2
lang<= u, w rang<= = -3
lang<= v, w rang<= = 5
Substituindo esses valores na expressão:
lang<= u + v + w, u + v + w rang<= = 1 + 2(2) + 2(-3) + 4 + 2(5) + 1

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
1 + 4 + (-6) + 4 + 10 + 1 = (1 + 4 + 4 + 1) + (-6 + 10) = 10 + 4 = 14

Resposta

Portanto, a norma de |u + v + w| = raiz14 é:

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