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Considere os seguintes subespaços de
:
Determine um sistema de geradores para cada um dos subespaços
e
.
Considere os seguintes subespaços de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está trabalhando com subespaços vetoriais no espaço
. Precisamos encontrar um conjunto de vetores que gerem a soma dos subespaços
e a interseção
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas de equações e combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os subespaços que temos:
-
Subespaço
: Isso significa que qualquer vetor emsatisfaz a equação acima. -
Subespaço
: Aqui,é gerado pelos vetores e , ou seja, qualquer vetor em pode ser formado combinando linearmente esses dois vetores.
Passo 3
Vamos encontrar um sistema de geradores para
. A soma de dois subespaços
consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
com um vetor de
. Para isso, precisamos encontrar vetores que, juntos, abranjam todos esses casos.
Primeiro, precisamos encontrar vetores que estão tanto em
quanto em
(ou seja, a interseção), mas vou explicar isso no próximo passo. Aqui, vamos apenas combinar os geradores de
e
.
Para encontrar um gerador para
, vamos resolver a equação
. Podemos expressar uma variável em função das outras, por exemplo,
. Assim, um vetor genérico em
pode ser escrito como:
Então, os vetores
e
geram
.
Agora, juntando com os geradores de
, que são
e
, temos um conjunto de vetores que pode gerar
:
No entanto, esse conjunto pode ser dependente. Precisamos verificar e remover possíveis vetores redundantes.
Passo 4
Agora, vamos determinar um sistema de geradores para
, ou seja, os vetores que estão simultaneamente em
e em
.
Para encontrar
, procuramos vetores que atendem tanto à condição de
quanto são combinações lineares dos vetores que geram
. Então, seja
um vetor em
. Isso dá:
Esse vetor também precisa satisfazer a equação de
:
Simplificando:
Substituindo
na expressão de
:
Fatorando
:
Então, o vetor
gera
.
Resposta
Um sistema de geradores para
é
e para
é
.