Suponha os valores
e
, onde
e
são grandezas quaisquer, e
, seus respectivos erros. Defina, em função desses 4 valores, as equações de propagação de erro dos cálculos abaixo:
1.4.e)
1.4.e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas grandezas, $ A $ e $ B $, cada uma com seus próprios erros, $ \delta A $ e $ \delta B $. O que a gente precisa é encontrar como o erro se propaga na expressão $ \frac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} $. Para isso, vamos usar a propagação de erros, uma ferramenta da matemática que nos ajuda a entender como os erros nas variáveis afetam o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a propagação de erros para funções de duas variáveis. Se temos uma função $ f(A, B) $, o erro em $ f $, que a gente chama de $ \delta f $, pode ser calculado usando as derivadas parciais da função em relação a $ A $ e $ B $. A fórmula é:
Isso significa que a gente precisa achar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ A $ e $ B $.
Passo 3
Vamos definir nossa função $ f(A, B) = \frac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} $. Agora, vamos calcular as derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de $ f $ em relação a $ A $:
Agora, a derivada de $ f $ em relação a $ B $:
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, vamos aplicar a fórmula da propagação de erros:
A gente pode simplificar isso retirando o sinal negativo, já que ao elevarmos ao quadrado ele some:
Passo 5
Finalmente, vamos escrever a equação de propagação de erro de forma mais organizada:
Resposta
A equação de propagação de erro para $ \frac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} $ é: