Suponha que as vazões médias naturais anuais de um rio sejam normalmente distribuídas e que a média das mesmas é de 100 m^3 / s e o desvio padrão é igual a 40 m^3 / s. Calcule:
A probabilidade da vazão média anual estar entre 90 e 120 m^3 / s; (R: Prob.: 0.2902 )

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que as vazões médias anuais de um rio seguem uma distribuição Normal com média e desvio padrão . A gente quer saber a probabilidade de a vazão média anual ficar entre 90 e 120 m³/s.
Matéria envolvida: Distribuição Normal (ou Gaussiana).
O que vamos precisar:
  • Entender como “padronizar” uma variável Normal (transformar em Normal padrão ).
  • Usar a tabela (ou função) da Normal padrão para obter probabilidades (função de distribuição acumulada ).

Passo 2

Padronização da variável:
Quando Z ;=;X - musigma , definimos
Z1 = 90 - 10040 = -1040 = -0.25, Z2 = 120 - 10040 = 2040 = 0.5
que é uma Normal padrão .
Vamos calcular os valores de correspondentes a e :

Passo 3

Transformando a probabilidade em termos de Pl(90 < X < 120r) ;=; Pl(90-10040 < Z < 120-10040r) ;=; P(-0.25 < Z < 0.5) :
Phi(z) = P(Z <= z)
Aqui usamos P(-0.25 < Z < 0.5) = Phi(0.5) - Phi(-0.25) , que é a função de distribuição acumulada da Normal padrão:
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Passo 4

Consultando a tabela (ou calculadora) da Normal padrão:
Phi(0.5) approx 0.6915, Phi(-0.25) = 1 - Phi(0.25) approx 1 - 0.5987 = 0.4013
Então
P(-0.25 < Z < 0.5) = 0.6915 - 0.4013 = 0.2902

Resposta

A probabilidade de a vazão média anual estar entre 90 e 120 m³/s é aproximadamente (ou 29,02 %).

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