Suponha que as vazões médias naturais anuais de um rio sejam normalmente distribuídas e que a média das mesmas é de 100 m^3 / s e o desvio padrão é igual a 40 m^3 / s. Calcule:
A probabilidade da vazão média anual ser inferior a 45 m^3 / s e o tempo de retorno ( R : Prob: 0.085; TR = 12 anos)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que as vazões médias anuais de um rio seguem uma distribuição Normal com média e desvio padrão . A tarefa é:
  1. Calcular a probabilidade de a vazão média ser menor que 45 m³/s.
  2. A partir dessa probabilidade, achar o tempo de retorno (ou período de recorrência).
    Para resolver isso, vamos usar a teoria da distribuição Normal, padronização em e a fórmula do tempo de retorno .

Passo 2

Antes de mais nada, o que é essa tal de distribuição Normal? É aquela curva em forma de “sininho” que é simétrica em torno da média P(X < x) ;=; Phi!l(x - musigmar) . Para qualquer valor , a probabilidade de ser menor que é dada por:
onde é a função de distribuição da Normal Padrão (média 0, desvio 1). Para usar a tabela de , a gente “padroniza” a variável transformando em .

Passo 3

Vamos padronizar 45 m³/s:
Z ;=; X - musigma ;=; 45 - 10040 ;=; -5540 ;=; -1,375
Isso significa que 45 m³/s está 1,375 desvios padrão abaixo da média.

Passo 4

Agora, usando a tabela da Normal Padrão ou uma calculadora, achamos:
P(X < 45) ;=; Phi(-1,375) ;approx; 0,084
Isso quer dizer que tem cerca de 8,4% de chance de a vazão média ficar abaixo de 45 m³/s em um ano qualquer.

Passo 5

O tempo de retorno (ou período de recorrência) é simplesmente
TR ;=; 1P(X<45) ;=; 10,084 ;approx; 11,9 anos,
que a gente costuma arredondar para 12 anos.

Resposta

Probabilidade de : (8,4%)
Tempo de retorno: anos.

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