Suponha que (
) é vetor aleatório com distribuição normal bivariada, tendo matriz de covariância
(a) Verifique se existe algum valor de
para o qual
é independente de
.
(b) Se
, quais são os valores possíveis de
?
(b) Se
Passo 1
O enunciado diz que
é vetor normal bivariado com matriz de covariância
(a) Queremos saber se existe
tal que
seja independente de
.
(b) Sabe-se que ; queremos os valores possíveis de
. Vamos usar as propriedades da normal: combinações lineares de variáveis normais são normais, e independência segue de não correlação no caso normal, além da fórmula geral da regressão linear condicional.
(b) Sabe-se que
Passo 2
Defina
e
. Calcule a covariância
Como
e
, isso dá
Logo
e
são não correlacionados. Como
é também bivariado normal (combinações lineares de normais), zero correlação implica independência. Isso vale para qualquer
.
Passo 3
Para uma dupla normal, a regressão condicional é
Aqui
e
, então o coeficiente da regressão é
Como
só pode variar em
, concluímos que
. O termo
fica
, mas não altera o intervalo de
.
Resposta
(a)
é independente de
para todo
.
(b) , logo
.
(b)