Suponha que ( X, Y ) é vetor aleatório com distribuição normal bivariada, tendo matriz de covariância
\left[\begin{array}{ll} 1 & \rho \\\ \rho & 1 \end{array}\right]
(a) Verifique se existe algum valor de \rho para o qual X+Y é independente de X-Y.
(b) Se \mathrm{E}[Y \mid X]=a X+b, quais são os valores possíveis de a ?

Passo 1

O enunciado diz que (X,Y) é vetor normal bivariado com matriz de covariância
\begin{pmatrix} 1 & \rho\\\ \rho & 1 \end{pmatrix}.
(a) Queremos saber se existe \rho tal que U=X+Y seja independente de V=X-Y.
(b) Sabe-se que \mathrm{E}[Y\mid X]=aX+b; queremos os valores possíveis de a. Vamos usar as propriedades da normal: combinações lineares de variáveis normais são normais, e independência segue de não correlação no caso normal, além da fórmula geral da regressão linear condicional.

Passo 2

Defina U=X+Y e V=X-Y. Calcule a covariância
\Cov(U,V) =\Cov(X+Y,\;X-Y) =\Cov(X,X)-\Cov(X,Y)+\Cov(Y,X)-\Cov(Y,Y).
Como \Var(X)=\Var(Y)=1 e \Cov(X,Y)=\rho, isso dá
\Cov(U,V)=1-\rho+\rho-1=0.
Logo U e V são não correlacionados. Como (U,V) é também bivariado normal (combinações lineares de normais), zero correlação implica independência. Isso vale para qualquer \rho\in[-1,1].

Passo 3

Para uma dupla normal, a regressão condicional é
\mathrm{E}[Y\mid X] =\mathrm{E}[Y]+\frac{\Cov(X,Y)}{\Var(X)}\bigl(X-\mathrm{E}[X]\bigr).
Aqui \Var(X)=1 e \Cov(X,Y)=\rho, então o coeficiente da regressão é
a=\frac{\rho}{1}=\rho.
Como \rho só pode variar em [-1,1], concluímos que a\in[-1,1]. O termo b fica b=\mathrm{E}[Y]-a\,\mathrm{E}[X], mas não altera o intervalo de a.

Resposta

(a) X+Y é independente de X-Y para todo \rho\in[-1,1].
(b) a=\rho, logo a\in[-1,1].

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