Suponha que você comece no ponto (
) e se mova 5 unidades ao longo da curva
na direção positiva. Onde você está agora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que você começa no ponto
e se move 5 unidades ao longo da curva definida por:
Vamos trabalhar com cálculo, especificamente com comprimento de curvas. Para resolver isso, vamos precisar calcular quanto tempo (ou valor de
) leva para percorrer essas 5 unidades na curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o comprimento de uma curva parametrizada. A fórmula geral para o comprimento
de uma curva de
a
é:
Então, nosso objetivo é encontrar o valor de
que corresponde a um comprimento
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas representam as componentes da velocidade ao longo da curva.
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Observe que , então:
Portanto, a expressão dentro da raiz simplifica para:
Isso significa que a integral fica:
Passo 6
Queremos que o comprimento
, então:
Então, o valor de
que nos leva a mover 5 unidades ao longo da curva é
.
Passo 7
Agora, substituímos
nas equações paramétricas para encontrar a posição final:
Usando uma calculadora:
Resposta
Após mover 5 unidades ao longo da curva, você está aproximadamente no ponto
.