Suponha que você comece no ponto ( 0,03 ) e se mova 5 unidades ao longo da curva x = 3 sen(t), y = 4 t, z = 3 cos(t) na direção positiva. Onde você está agora?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que você começa no ponto (0,0,3) e se move 5 unidades ao longo da curva definida por:
Vamos trabalhar com cálculo, especificamente com comprimento de curvas. Para resolver isso, vamos precisar calcular quanto tempo (ou valor de ) leva para percorrer essas 5 unidades na curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o comprimento de uma curva parametrizada. A fórmula geral para o comprimento de uma curva de a é:
Então, nosso objetivo é encontrar o valor de que corresponde a um comprimento .

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas representam as componentes da velocidade ao longo da curva.

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Observe que , então:
Portanto, a expressão dentro da raiz simplifica para:
Isso significa que a integral fica:

Passo 6

Queremos que o comprimento , então:
Então, o valor de que nos leva a mover 5 unidades ao longo da curva é .

Passo 7

Agora, substituímos nas equações paramétricas para encontrar a posição final:
Usando uma calculadora:

Resposta

Após mover 5 unidades ao longo da curva, você está aproximadamente no ponto .

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