Suponha que você encontre anotações antigas que descrevem uma escala de temperatura chamada Z, na qual o ponto de ebulição da água é
e o ponto de congelamento é
. A que temperatura na escala Fahrenheit corresponde uma temperatura
? Suponha que a escala Z é linear, ou seja, que o tamanho de um grau Z é o mesmo em toda a escala Z.
Passo 1
O enunciado pede: transformar uma temperatura dada na escala
para a escala Fahrenheit. Informações fornecidas:
- Ponto de congelamento da água:
corresponde a . (Peguei este dado do enunciado.) - Ponto de ebulição da água:
corresponde a . (Peguei este dado do enunciado.) - A escala
é linear (ou seja, cada grau tem o mesmo tamanho em toda a escala). - Queremos a temperatura em Fahrenheit correspondente a
.
Passo 2
Entendendo o que significa “escala linear” e como traduzir isso em fórmula.
Se a relação entre escalas é linear, existe uma função affine (reta) que leva em
:
Se a relação entre escalas é linear, existe uma função affine (reta) que leva
onde:
-
é a temperatura em Fahrenheit, -
é a temperatura na escala , -
é a inclinação da reta (quantos graus Fahrenheit correspondem a um grau ), -
é o termo independente (offset), que desloca a reta.
Nosso objetivo é determinare usando os dois pontos conhecidos e depois calcular para .
Passo 3
Escrever as equações que vêm dos dois pontos conhecidos. Para
temos:
Para
temos:
Essas são duas equações lineares em
e
.
Passo 4
Subtrair a primeira equação da segunda para eliminar
e achar
:
Calcular os lados:
Logo
Isso significa que cada grau
vale
graus Fahrenheit (aproximadamente
por grau
).
Passo 5
Agora encontramos
. Usamos, por exemplo, a equação com o ponto de congelamento:
Substituindo
:
Numericamente,
.
Passo 6
Agora calculamos
para
. Usamos
Substituindo
e
:
Calcular o numerador:
Portanto
Convertendo para número decimal:
Passo 7
Checagem rápida de coerência: como
é maior que
(ponto de ebulição), espera-se uma temperatura em Fahrenheit maior que
. O valor encontrado
satisfaz essa expectativa, então é coerente.