Suponha que você encontre anotações antigas que descrevem uma escala de temperatura chamada Z, na qual o ponto de ebulição da água é 65,0^{\circ} \mathrm{Z} e o ponto de congelamento é -14,0^{\circ} \mathrm{Z}. A que temperatura na escala Fahrenheit corresponde uma temperatura 98,0^{\circ} \mathrm{Z} ? Suponha que a escala Z é linear, ou seja, que o tamanho de um grau Z é o mesmo em toda a escala Z. \left(-159^{\circ} \mathrm{F}\right)

Passo 1

O enunciado pede: transformar uma temperatura dada na escala Z para a escala Fahrenheit. Informações fornecidas:
  • Ponto de congelamento da água: -14{,}0^\circ\mathrm{Z} corresponde a 32^\circ\mathrm{F}. (Peguei este dado do enunciado.)
  • Ponto de ebulição da água: 65{,}0^\circ\mathrm{Z} corresponde a 212^\circ\mathrm{F}. (Peguei este dado do enunciado.)
  • A escala Z é linear (ou seja, cada grau Z tem o mesmo tamanho em toda a escala).
  • Queremos a temperatura em Fahrenheit correspondente a 98{,}0^\circ\mathrm{Z}.

Passo 2

Entendendo o que significa “escala linear” e como traduzir isso em fórmula.
Se a relação entre escalas é linear, existe uma função affine (reta) que leva Z em F:
F = aZ + b,
onde:
  • F é a temperatura em Fahrenheit,
  • Z é a temperatura na escala Z,
  • a é a inclinação da reta (quantos graus Fahrenheit correspondem a um grau Z),
  • b é o termo independente (offset), que desloca a reta.
    Nosso objetivo é determinar a e b usando os dois pontos conhecidos e depois calcular F para Z=98{,}0.

Passo 3

Escrever as equações que vêm dos dois pontos conhecidos. Para -14{,}0^\circ\mathrm{Z} temos:
32 = a\cdot(-14) + b.
Para 65{,}0^\circ\mathrm{Z} temos:
212 = a\cdot65 + b.
Essas são duas equações lineares em a e b.

Passo 4

Subtrair a primeira equação da segunda para eliminar b e achar a:
212 - 32 = a(65 - (-14)).
Calcular os lados:
180 = a\cdot79.
Logo
a = \frac{180}{79}.
Isso significa que cada grau Z vale \dfrac{180}{79} graus Fahrenheit (aproximadamente 2{,}27848 \mathrm{F} por grau Z).

Passo 5

Agora encontramos b. Usamos, por exemplo, a equação com o ponto de congelamento:
32 = a\cdot(-14) + b \quad\Rightarrow\quad b = 32 + 14a.
Substituindo a=\dfrac{180}{79}:
b = 32 + 14\cdot\frac{180}{79} = 32 + \frac{2520}{79} = \frac{5048}{79}.
Numericamente, b \approx 63{,}911392.

Passo 6

Agora calculamos F para Z=98{,}0. Usamos
F = aZ + b.
Substituindo a e b:
F = \frac{180}{79}\cdot98 + \frac{5048}{79} = \frac{180\cdot98 + 5048}{79}.
Calcular o numerador:
180\cdot98 = 17640,
17640 + 5048 = 22688.
Portanto
F = \frac{22688}{79}.
Convertendo para número decimal:
F \approx 287{,}19^\circ\mathrm{F}.

Passo 7

Checagem rápida de coerência: como 98{,}0^\circ\mathrm{Z} é maior que 65{,}0^\circ\mathrm{Z} (ponto de ebulição), espera-se uma temperatura em Fahrenheit maior que 212^\circ\mathrm{F}. O valor encontrado 287{,}19^\circ\mathrm{F} satisfaz essa expectativa, então é coerente.

Resposta

287{,}19^\circ\mathrm{F}

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