Suponha que
seja uma variável aleatórias contínua com densidade
. Mostre que
é minimizada quando a é a mediana de
. Ou seja, quando
.
Dica: divida a integral da esperança nas regiões onde
e onde
antes de derivar.
Dica: divida a integral da esperança nas regiões onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória contínua $ X $ com densidade $ f $. A missão é mostrar que a expectativa $ \mathbf{E}|X - a| $ é mínima quando $ a $ é a mediana de $ X $, ou seja, quando $ P(X \leq a) = P(X \geq a) = \frac{1}{2} $. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, e dividir a integral da expectativa em duas partes: onde $ x < a $ e onde $ x > a $.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expectativa $ \mathbf{E}|X - a| $ como uma integral. Como $ |X - a| $ muda de fórmula dependendo se $ X $ é maior ou menor que $ a $, dividimos a integral nesses dois casos:
Passo 3
Agora, queremos minimizar essa expressão em relação a $ a $. Para isso, vamos derivar $ \mathbf{E}|X - a| $ em relação a $ a $ e igualar a derivada a zero.
Primeiro, derivamos cada parte:
Então, a derivada total é:
Passo 4
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Isso simplifica para:
Passo 5
Sabemos que $ \int_{-\infty}^{a} f(x) , dx $ é a probabilidade de $ X \leq a $, ou seja, $ P(X \leq a) $. E $ \int_{a}^{\infty} f(x) , dx $ é $ P(X \geq a) $.
Então, a equação fica:
Resposta
A expectativa $ \mathbf{E}|X - a| $ é minimizada quando $ a $ é a mediana de $ X $, ou seja, quando $ P(X \leq a) = P(X \geq a) = \frac{1}{2} $.