Se X1, X2, X3, X4 são variáveis aleatórias não correlacionadas (por pares), cada uma com média 0 e variância 1 , calcule as correlações de
U=X1+X2 eV =X2+X3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem quatro variáveis aleatórias, $ X_1, X_2, X_3, X_4 $, que são não correlacionadas (ou seja, a covariância entre qualquer par delas é zero). Cada uma dessas variáveis tem média igual a 0 e variância igual a 1. O que a gente precisa descobrir é qual é a correlação entre duas novas variáveis definidas como $ U = X_1 + X_2 $ e $ V = X_2 + X_3 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é correlação. A correlação entre duas variáveis nos diz o quanto elas se relacionam linearmente. Ela é calculada usando a covariância das variáveis dividida pelo produto dos seus desvios-padrão. A fórmula é:
rhoU,V = Cov(U, V)sigmaU sigmaV
Então, para encontrar a correlação entre $ U $ e $ V $, precisamos calcular a covariância entre elas e também os desvios-padrão de cada uma.

Passo 3

Vamos começar calculando a covariância entre $ U $ e $ V $. Sabemos que:
U
V
A covariância de $ U $ e $ V $ é:
U = X1 + X2
Usando a propriedade da distributividade da covariância, temos:
V = X2 + X3
Como as variáveis são não correlacionadas, as covariâncias entre $ X_1 $ e $ X_2 $, $ X_1 $ e $ X_3 $, e $ X_2 $ e $ X_3 $ são todas zero:
U
Sabemos que a variância de $ X_2 $ é 1, então:
V

Passo 4

Agora vamos calcular os desvios-padrão de $ U $ e $ V $. Primeiro, a variância de $ U $:
U
Como $ Cov(X_1, X_2) = 0 $ e $ Var(X_1) = Var(X_2) = 1 $:
V
Então, o desvio-padrão de $ U $ é:
U
De forma similar, para $ V $:
Var(U) = Var(X1 + X2) = Var(X1) + Var(X2) + 2 cdot Cov(X1, X2)
E o desvio-padrão de $ V $ também é:
Cov(X1, X2) = 0

Passo 5

Agora que temos a covariância e os desvios-padrão, podemos calcular a correlação usando a fórmula que mencionamos no Passo 2:
rhoU,V = Cov(U, V)sigmaU sigmaV = 1raiz2 cdot raiz2 = 12 = 0,5

Resposta

A correlação entre $ U $ e $ V $ é 0,5.

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