Suponha que X \sim N(\mu, 1) e Y / X=x \sim N\left(x / 2, \sigma^{2}\right).
a) Qual a distribuição de Z=E(Y / X) ?
b) Quanto vale E(Y) ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
Dados:
X \sim N(\mu,1)
e, para cada x,
Y\mid X=x \sim N\!\bigl(x/2,\;\sigma^{2}\bigr).
Perguntas:
a) Qual a distribuição da variável aleatória Z = E(Y\mid X)?\n
b) Qual o valor de E(Y)?
Observação: aqui E(Y\mid X) é a esperança condicional de Y dado X; é uma função aleatória de X.

Passo 2

Entendendo o que é Z=E(Y\mid X) (explicação didática).
A esperança condicional E(Y\mid X) é, por definição, a função que associa a cada valor x de X a esperança de Y quando X=x. Ou seja, para cada x temos
E(Y\mid X=x)=\text{(média da distribuição condicional de }Y\mid X=x).éçã
No enunciado a média condicional foi dada explicitamente: é x/2. Portanto a esperança condicional, vista agora como variável aleatória (função de X), é simplesmente
Z = E(Y\mid X)=\frac{X}{2}.
Isso significa que Z é uma transformação linear de X. Vou explicar como usar isso para achar a distribuição de Z.

Passo 3

Teorema usado (transformação linear de normal) — aula curta e intuitiva.
Seja X uma variável com distribuição normal
X\sim N(\mu_X,\sigma_X^2),
e seja W=aX+b com a,b constantes reais. Então W também é normal, com
W\sim N(a\mu_X+b,\;a^2\sigma_X^2).
Explicando as letras: a escala (multiplica) X; b desloca. A média escala e desloca como a\mu_X+b. A variância escala por a^2 porque variância mede dispersão quadrática (se você dobrar X, a variância fica quatro vezes maior).

Passo 4

Aplicando o teorema ao nosso caso.
Nós temos Z=\dfrac{X}{2}. Aqui a=\dfrac12 e b=0. Como X\sim N(\mu,1), aplicando a fórmula:
média de Z:
E(Z)=a\mu+b=\frac{1}{2}\mu+0=\frac{\mu}{2},
variância de Z:
\operatorname{Var}(Z)=a^{2}\operatorname{Var}(X)=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot 1=\frac{1}{4}.
Portanto, por ser transformação linear de uma normal, Z é normal com esses parâmetros:
Z\sim N\!\left(\frac{\mu}{2},\;\frac{1}{4}\right).

Passo 5

Cálculo de E(Y) usando a Lei da Esperança Total (ou Teorema da Probabilidade Total para esperança).
A lei diz que
E(Y)=E\bigl(E(Y\mid X)\bigr).
Aqui E(Y\mid X)=Z, então
E(Y)=E(Z).
Do passo anterior encontramos E(Z)=\dfrac{\mu}{2}. Logo
E(Y)=\frac{\mu}{2}.
Comentário didático: note que a variância condicional \sigma^{2} de Y\mid X não afeta a esperança E(Y); ela só influencia a variância total de Y, mas a média de Y é determinada pela média da média condicional.

Passo 6

Resumo rápido do raciocínio para aplicar na prova:
  • Identifique a média condicional E(Y\mid X=x) a partir do enunciado. Ela é a função que define Z.
  • Substitua x por a variável X para obter a variável aleatória Z.
  • Se Z é uma transformação linear de X, use a fórmula de transformação de normal para achar Z\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2).
  • Para E(Y), aplique E(Y)=E(E(Y\mid X)).

Resposta

Z\sim N\!\bigl(\tfrac{\mu}{2},\tfrac{1}{4}\bigr)\n
E(Y)=\tfrac{\mu}{2}

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