Suponha que
e
.
a) Qual a distribuição de
?
b) Quanto vale
?
a) Qual a distribuição de
b) Quanto vale
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras.
Dados:
e, para cada
,
Perguntas:
a) Qual a distribuição da variável aleatória ?\n
b) Qual o valor de ?
a) Qual a distribuição da variável aleatória
b) Qual o valor de
Observação: aqui
é a esperança condicional de
dado
; é uma função aleatória de
.
Passo 2
Entendendo o que é
(explicação didática).
A esperança condicional é, por definição, a função que associa a cada valor
de
a esperança de
quando
. Ou seja, para cada
temos
A esperança condicional
No enunciado a média condicional foi dada explicitamente: é
. Portanto a esperança condicional, vista agora como variável aleatória (função de
), é simplesmente
Isso significa que
é uma transformação linear de
. Vou explicar como usar isso para achar a distribuição de
.
Passo 3
Teorema usado (transformação linear de normal) — aula curta e intuitiva.
Seja uma variável com distribuição normal
Seja
e seja
com
constantes reais. Então
também é normal, com
Explicando as letras:
escala (multiplica)
;
desloca. A média escala e desloca como
. A variância escala por
porque variância mede dispersão quadrática (se você dobrar
, a variância fica quatro vezes maior).
Passo 4
Aplicando o teorema ao nosso caso.
Nós temos . Aqui
e
. Como
, aplicando a fórmula:
média de :
Nós temos
média de
variância de
:
Portanto, por ser transformação linear de uma normal,
é normal com esses parâmetros:
Passo 5
Cálculo de
usando a Lei da Esperança Total (ou Teorema da Probabilidade Total para esperança).
A lei diz que
A lei diz que
Aqui
, então
Do passo anterior encontramos
. Logo
Comentário didático: note que a variância condicional
de
não afeta a esperança
; ela só influencia a variância total de
, mas a média de
é determinada pela média da média condicional.
Passo 6
Resumo rápido do raciocínio para aplicar na prova:
- Identifique a média condicional
a partir do enunciado. Ela é a função que define . - Substitua
por a variável para obter a variável aleatória . - Se
é uma transformação linear de , use a fórmula de transformação de normal para achar . - Para
, aplique .