Seja Y \sim N(0,4) e seja X uma variável aleatória tal que
E(X \mid Y)=a Y+b, \mathrm{a}, \mathrm{~b} \in \mathbb{R}
Encontre as constantes a e b de forma que E(X)=1 e E(X Y)=2.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem diretas:
  • Temos Y \sim N(0,4).
  • Existe X tal que \displaystyle E(X\mid Y)=aY+b, com a,b\in\mathbb{R}.
  • As condições exigidas são E(X)=1 e E(XY)=2.
Informações relevantes que podemos extrair (sem resolver ainda):
  • Como Y tem média zero, temos E(Y)=0.
  • Como a variância de Y é 4, temos E(Y^{2})=\operatorname{Var}(Y)+[E(Y)]^{2}=4.

Passo 2

Vamos usar o princípio básico da esperança condicional: a identidade da esperança iterada. Ela diz que a esperança da esperança condicional é a esperança marginal; em fórmulas,
E(X)=E\bigl(E(X\mid Y)\bigr).
Isto faz sentido: primeiro média-se X para cada valor de Y (isso é E(X\mid Y)), e depois toma-se a média dessa quantidade sobre Y.
Aplicando essa identidade ao nosso caso, usando \displaystyle E(X\mid Y)=aY+b, obtemos
E(X)=E\bigl(aY+b\bigr)=aE(Y)+b.
Substituímos E(Y)=0 (porque Y tem média zero), então
E(X)=a\cdot 0 + b = b.
Como exigem E(X)=1, concluímos que
b=1.

Passo 3

Agora precisamos usar uma propriedade análoga para o produto XY. A técnica padrão é condicionar também:
E(XY)=E\bigl(E(XY\mid Y)\bigr).
Dentro da esperança condicional, Y é conhecido (é como uma constante), então
E(XY\mid Y)=Y\cdot E(X\mid Y).
Portanto
E(XY)=E\bigl(Y\cdot E(X\mid Y)\bigr).
Essa é uma identidade útil: podemos “puxar” Y para fora do condicional porque estamos condicionando em Y.

Passo 4

Substituímos \displaystyle E(X\mid Y)=aY+b na expressão anterior:
E(XY)=E\bigl(Y\cdot (aY+b)\bigr)=E\bigl(aY^{2}+bY\bigr)=aE(Y^{2})+bE(Y).
Agora usamos os valores conhecidos: E(Y)=0 e E(Y^{2})=4. Assim
E(XY)=a\cdot 4 + b\cdot 0 = 4a.
A condição do enunciado é E(XY)=2. Logo
4a=2 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{2}.

Passo 5

Fazendo um checagem rápida com os valores encontrados:
b=1 \quad\text{e}\quad a=\frac{1}{2}.
Verificações: E(X)=b=1 (ok) e E(XY)=4a=4\cdot\frac{1}{2}=2 (ok). Tudo consistente.

Resposta

\displaystyle a=\frac{1}{2}
\displaystyle b=1

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