Seja
e seja
uma variável aleatória tal que
Encontre as constantes
e
de forma que
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede coisas bem diretas:
- Temos
. - Existe
tal que , com . - As condições exigidas são
e .
Informações relevantes que podemos extrair (sem resolver ainda):
- Como
tem média zero, temos . - Como a variância de
é , temos .
Passo 2
Vamos usar o princípio básico da esperança condicional: a identidade da esperança iterada. Ela diz que a esperança da esperança condicional é a esperança marginal; em fórmulas,
Isto faz sentido: primeiro média-se
para cada valor de
(isso é
), e depois toma-se a média dessa quantidade sobre
.
Aplicando essa identidade ao nosso caso, usando
, obtemos
Substituímos
(porque
tem média zero), então
Como exigem
, concluímos que
Passo 3
Agora precisamos usar uma propriedade análoga para o produto
. A técnica padrão é condicionar também:
Dentro da esperança condicional,
é conhecido (é como uma constante), então
Portanto
Essa é uma identidade útil: podemos “puxar”
para fora do condicional porque estamos condicionando em
.
Passo 4
Substituímos
na expressão anterior:
Agora usamos os valores conhecidos:
e
. Assim
A condição do enunciado é
. Logo
Passo 5
Fazendo um checagem rápida com os valores encontrados:
Verificações:
(ok) e
(ok). Tudo consistente.