Suponha que X \subseteq \mathbb{R} e que a \in X_{+}^{\prime}. Assuma que f: X \rightarrow \mathbb{R} e g: X \rightarrow \mathbb{R} sejam funções a valores reais. Mostre que se \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a^{+}} g(x)=M, então,
\lim _{x \rightarrow a^{+}}[f(x)+g(x)]=L+M

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • X \subseteq \mathbb{R}.
  • a \in X_{+}^{\prime} (ou seja, a é ponto de acumulação pela direita de X).
  • f: X \rightarrow \mathbb{R} e g: X \rightarrow \mathbb{R} são funções reais.
  • Sabe-se que \lim_{x\to a^{+}} f(x)=L e \lim_{x\to a^{+}} g(x)=M.
O que é pedido:
  • Mostrar que \displaystyle \lim_{x\to a^{+}}[f(x)+g(x)]=L+M.

Passo 2

Recordando a definição precisa de limite lateral (pela direita): dizer que \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} h(x)=H significa o seguinte (definição \varepsilon \delta):
\text{Para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, se }x\in X\text{ e }0<x-a<\delta,\text{ então }|h(x)-H|<\varepsilon.ã
Explicando cada peça:
  • \varepsilon>0 é a “tolerância” que queremos para o valor de h(x) em relação a H.
  • \delta>0 é a distância pela direita de a que garante essa tolerância.
  • A condição 0<x-a<\delta significa que x está em X e suficientemente próximo de a pela direita (não igual a a).
Vamos usar essa definição para f e para g e combinar os resultados para obter o limite da soma.

Passo 3

Começamos com um \varepsilon>0 arbitrário (queremos encontrar um \delta>0 que serve para a soma). A ideia padrão é controlar separadamente a diferença de f em relação a L e a diferença de g em relação a M, e depois somá-las. Para isso aplicamos a definição aos limites dados:
Pelo fato de \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x)=L, existe \delta_{1}>0 tal que, sempre que x\in X e 0<x-a<\delta_{1}, vale
|f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}.
Pelo fato de \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} g(x)=M, existe \delta_{2}>0 tal que, sempre que x\in X e 0<x-a<\delta_{2}, vale
|g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2}.
Comentário didático: escolhemos \dfrac{\varepsilon}{2} para cada função porque, pela desigualdade triangular, a soma das duas diferenças será no máximo a soma das tolerâncias. A desigualdade triangular diz que, para quaisquer números reais u e v,
|u+v|\le |u|+|v|.
Aqui iremos aplicar com u=f(x)-L e v=g(x)-M.

Passo 4

Definimos
\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}.
Então, sempre que x\in X e 0<x-a<\delta, temos simultaneamente 0<x-a<\delta_{1} e 0<x-a<\delta_{2}. Portanto as duas desigualdades dos passos anteriores valem ao mesmo tempo:
|f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2} \qquad\text{e}\qquad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2}.
Agora aplicamos a desigualdade triangular:
\big|[f(x)+g(x)]-(L+M)\big| =|[f(x)-L]+[g(x)-M]| \le |f(x)-L|+|g(x)-M|.
Usando as desigualdades obtidas,
|f(x)-L|+|g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Assim encontramos \delta>0 tal que, se x\in X e 0<x-a<\delta, então
\big|[f(x)+g(x)]-(L+M)\big|<\varepsilon.

Passo 5

Concluímos, pela definição de limite lateral pela direita, que
\lim_{x\to a^{+}}[f(x)+g(x)]=L+M.
Breve comentário final: a escolha de \varepsilon/2 foi apenas uma forma prática de dividir a tolerância; poderia-se escolher qualquer par de números positivos cuja soma fosse \varepsilon. A desigualdade triangular é a ferramenta-chave que permite transformar controles separados sobre f e g em um controle sobre f+g.

Resposta

L+M

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