Suponha que I \subseteq \mathbb{R} seja um intervalo aberto e que a \in I. Assuma que f: I \rightarrow \mathbb{R} seja uma função. Suponha que existam constantes K>0 e L \in \mathbb{R} tais que |f(x)-L| \leq K|x-a|, para todo x \in I. Mostre que \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • I \subseteq \mathbb{R} é um intervalo aberto.
  • a \in I.
  • f: I \to \mathbb{R} é uma função.
  • Existem constantes K>0 e L\in\mathbb{R} tais que, para todo x\in I,
|f(x)-L| \le K|x-a|.
O que se pede: mostrar que
\lim_{x\to a} f(x) = L.

Passo 2

Recordando a definição de limite (modo formal, que vamos usar): dizer que \lim_{x\to a} f(x)=L significa que
“para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se x\in I e 0<|x-a|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon.”
Vou trabalhar diretamente com essa definição (é o caminho padrão para esse tipo de desigualdade).

Passo 3

Como I é um intervalo aberto e a\in I, existe um raio r>0 tal que o intervalo aberto (a-r,a+r) está contido em I. Em outras palavras, posso me restringir a pontos x suficientemente próximos de a sem sair do domínio I. Esse fato será usado para garantir que o \delta que escolher mantenha x dentro de I.

Passo 4

Seja um \varepsilon>0 arbitrário. Vou escolher \delta dependendo de \varepsilon de forma a garantir a implicação da definição. Como temos a constante K>0, defino
\delta := \min\!\left(r,\; \frac{\varepsilon}{K}\right).
Note que \delta>0 porque r>0 e \varepsilon/K>0.

Passo 5

Agora verifico que esse \delta funciona. Tome x\in I com 0<|x-a|<\delta. Pelo modo como escolhemos \delta, tem-se |x-a|<\delta\le \dfrac{\varepsilon}{K}. Usando a desigualdade fornecida no enunciado:
|f(x)-L| \le K|x-a| < K\cdot \frac{\varepsilon}{K} = \varepsilon.
Além disso, como |x-a|<\delta\le r, garantimos que x realmente permanece em I (isso já supusemos, mas fica claro por que incluímos r no mínimo).

Passo 6

Concluímos: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (especificamente \delta=\min(r,\varepsilon/K)) tal que, se x\in I e 0<|x-a|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon. Pela definição de limite, isso prova que
\lim_{x\to a} f(x)=L.

Passo 7

Comentário intuitivo e exemplo rápido para fixar: a desigualdade |f(x)-L|\le K|x-a| diz que a diferença entre f(x) e L decai, no máximo, de forma linear com a distância ao ponto a; assim, quando x se aproxima de a, o produto K|x-a| tende a zero, forçando f(x) a aproximar-se de L. Um exemplo simples é f(x)=L+m(x-a) com m real; então |f(x)-L|=|m||x-a| e a escolha K=|m| satisfaz a hipótese, e a conclusão é imediata.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L

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