Suponha que
seja um intervalo aberto e que
. Assuma que
seja uma função. Suponha que existam constantes
e
tais que
, para todo
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é um intervalo aberto. -
. -
é uma função. - Existem constantes
e tais que, para todo ,
O que se pede: mostrar que
Passo 2
Recordando a definição de limite (modo formal, que vamos usar): dizer que
significa que
“para todo existe
tal que, se
e
, então
.”
Vou trabalhar diretamente com essa definição (é o caminho padrão para esse tipo de desigualdade).
“para todo
Vou trabalhar diretamente com essa definição (é o caminho padrão para esse tipo de desigualdade).
Passo 3
Como
é um intervalo aberto e
, existe um raio
tal que o intervalo aberto
está contido em
. Em outras palavras, posso me restringir a pontos
suficientemente próximos de
sem sair do domínio
. Esse fato será usado para garantir que o
que escolher mantenha
dentro de
.
Passo 4
Seja um
arbitrário. Vou escolher
dependendo de
de forma a garantir a implicação da definição. Como temos a constante
, defino
Note que
porque
e
.
Passo 5
Agora verifico que esse
funciona. Tome
com
. Pelo modo como escolhemos
, tem-se
. Usando a desigualdade fornecida no enunciado:
Além disso, como
, garantimos que
realmente permanece em
(isso já supusemos, mas fica claro por que incluímos
no mínimo).
Passo 6
Concluímos: para todo
existe
(especificamente
) tal que, se
e
, então
. Pela definição de limite, isso prova que
Passo 7
Comentário intuitivo e exemplo rápido para fixar: a desigualdade
diz que a diferença entre
e
decai, no máximo, de forma linear com a distância ao ponto
; assim, quando
se aproxima de
, o produto
tende a zero, forçando
a aproximar-se de
. Um exemplo simples é
com
real; então
e a escolha
satisfaz a hipótese, e a conclusão é imediata.