Suponhamos que o mercado de bens de uma economia aberta seja caracterizado pelas seguintes equações comportamentais:
\begin{aligned} & C=400+0,5 \cdot(Y-T) \\\ & I=700-4000 i+0,2 \cdot Y \\\ & G=200 \\\ & T=200 \\\ & X=100+0,1 \cdot Y^{*}+100 \cdot e \\\ & M=0,1 Y-50 e \\\ & e=2,0 \\\ & Y^{*}=1 \cdot 000 \end{aligned}
a) Presumindo que a taxa de juros seja de 10 \%(0,10), encontre o PIB de equilíbrio.
b) Apure os valores de C, I, G e das exportações líquidas e verifique se a demanda doméstica por bens é igual ao valor que você encontrou em (a)
c) Suponhamos que o gasto do governo aumentem de 200 para 400.
i. Solucione de novo para o PIB de equilíbrio.
ii. Solucione para C, I, G e para N X e verifique a igualdade entre a demanda doméstica por bens e o PIB.
iii. O que acontece com as exportações líquidas como resultado do aumento em G ? Explique.
c) Volte às hipóteses originais deste problema. Continue a supor que a taxa de juros seja de 10 \%. Agora, suponha que a renda internacional aumente de 1.000 para 1.200.
i. Solucione de novo para o PIB de equilíbrio.
ii. Solucione para C, I, G e para N X e verifique se a demanda doméstica por bens é igual ao PIB.
iii. O que aconteceu às exportações líquidas? Explique por que a resposta é diferente da que você obteve quando o gasto do governo aumentou na mesma quantidade.

Passo 1

Aqui está o que o enunciado nos dá e o que ele pede. Vou listar tudo explicitamente para você não se perder.
Equações comportamentais e parâmetros (dados do enunciado):
\begin{aligned} & C=400+0,5\cdot (Y-T) \\\ & I=700-4000\,i+0,2\cdot Y \\\ & G=200 \\\ & T=200 \\\ & X=100+0,1\cdot Y^{*}+100\cdot e \\\ & M=0,1\cdot Y-50\cdot e \\\ & e=2,0 \\\ & Y^{*}=1\,000 \end{aligned}
Perguntas:
a) Presumindo i=0{,}10, encontre o PIB de equilíbrio Y.
b) Calcule C, I, G e as exportações líquidas NX, e verifique a relação entre demanda doméstica e Y.
c) (i) Supondo agora G aumenta de 200 para 400, encontre o novo Y. (ii) Calcule C, I, G e NX e verifique a igualdade entre demanda doméstica e Y. (iii) Explique o que acontece com NX.
d) (voltar ao caso original G=200 e i=0{,}10) Suponha agora que Y^{*} aumenta de 1\,000 para 1\,200: (i) encontre o novo Y; (ii) calcule C, I, G e NX e verifique a igualdade; (iii) explique o que aconteceu com NX e por que difere da alteração de G.
Observação: vou usar a identidade de equilíbrio no mercado de bens:
Y = C + I + G + (X - M)
onde NX (exportações líquidas) é NX = X - M.

Passo 2

Primeiro vamos transformar as equações colocando os parâmetros numéricos quando possível (substituir T, i, e, Y^{*} conforme dado), e simplificar cada função para termos em constantes e em Y.
  1. Consumo:
C=400+0,5\cdot (Y-T)=400+0,5\cdot (Y-200).
Desenvolvendo:
C = 400 + 0{,}5Y - 100 = 300 + 0{,}5Y.
Expliquei: peguei T=200, multipliquei 0{,}5 por Y e por -200, somei as constantes.
  1. Investimento (com i=0{,}10):
I=700-4000\cdot i + 0{,}2Y = 700 - 4000\cdot 0{,}10 + 0{,}2Y.
Calcule:
700 - 400 = 300,
logo
I = 300 + 0{,}2Y.
  1. Governo:
G = 200
(número dado).
  1. Exportações X (com Y^{*}=1000 e e=2):
X = 100 + 0{,}1\cdot Y^{*} + 100\cdot e = 100 + 0{,}1\cdot 1000 + 100\cdot 2.
Calcule passo a passo:
0{,}1\cdot 1000 = 100,\quad 100\cdot 2 = 200,
portanto
X = 100 + 100 + 200 = 400.
Aqui eu peguei esses números diretamente da fórmula de X usando os valores da tabela do enunciado.
  1. Importações M (com e=2):
M = 0{,}1Y - 50\cdot e = 0{,}1Y - 50\cdot 2 = 0{,}1Y - 100.
  1. Exportações líquidas NX = X - M:
NX = 400 - (0{,}1Y - 100) = 400 - 0{,}1Y + 100 = 500 - 0{,}1Y.
Resumo das funções simplificadas (caso base):
\begin{aligned} C &= 300 + 0{,}5Y,\\\ I &= 300 + 0{,}2Y,\\\ G &= 200,\\\ NX &= 500 - 0{,}1Y. \end{aligned}

Passo 3

Agora impomos a condição de equilíbrio no mercado de bens:
Y = C + I + G + NX.
Substituo as expressões simplificadas obtidas:
Y = (300 + 0{,}5Y) + (300 + 0{,}2Y) + 200 + (500 - 0{,}1Y).
Somando termos constantes e os coeficientes de Y separadamente:
constantes: 300 + 300 + 200 + 500 = 1300.
coeficiente de Y: 0{,}5 + 0{,}2 - 0{,}1 = 0{,}6.
Logo:
Y = 1300 + 0{,}6Y.

Passo 4

Resolver a equação para Y:
Y - 0{,}6Y = 1300 \quad\Rightarrow\quad 0{,}4Y = 1300.
Dividindo:
Y = \frac{1300}{0{,}4} = 3250.
Portanto o PIB de equilíbrio (caso base) é Y = 3250.

Passo 5

Com Y=3250 calculemos C, I, G, NX explicitamente para responder (b).
  1. Consumo:
C = 300 + 0{,}5\cdot 3250 = 300 + 1625 = 1925.
  1. Investimento:
I = 300 + 0{,}2\cdot 3250 = 300 + 650 = 950.
  1. Governo:
G = 200\quad(\text{dado}).
  1. Exportações líquidas:
NX = 500 - 0{,}1\cdot 3250 = 500 - 325 = 175.
Verificação da identidade agregada:
C + I + G + NX = 1925 + 950 + 200 + 175 = 3250 = Y.
Observação sobre “demanda doméstica”: se definirmos demanda doméstica por bens como C+I+G, então
C+I+G = 1925 + 950 + 200 = 3075,
que não é igual a Y; porém a identidade que deve valer é Y = (C+I+G) + NX. Ou seja, soma da demanda doméstica mais NX Y. Isso confirma a consistência.

Passo 6

Agora parte c): aumentamos G de 200 para 400. Mantemos todas as outras funções (i.e., C e I dependem de Y da mesma forma, X e M idem, e=2, Y^{*}=1000, i=0{,}10).
Reescrevo as funções com novo G:
C = 300 + 0{,}5Y,\quad I = 300 + 0{,}2Y,\quad G = 400,\quad NX = 500 - 0{,}1Y.
Agregando:
Y = (300+0{,}5Y) + (300+0{,}2Y) + 400 + (500 - 0{,}1Y).
Constantes: 300+300+400+500 = 1500. Coeficiente em Y: 0{,}5+0{,}2-0{,}1=0{,}6. Assim:
Y = 1500 + 0{,}6Y.

Passo 7

Resolver para Y no novo caso:
Y - 0{,}6Y = 1500 \quad\Rightarrow\quad 0{,}4Y = 1500,
Y = \frac{1500}{0{,}4} = 3750.

Passo 8

Calcule C, I, G, NX com Y=3750 e G=400:
  1. C = 300 + 0{,}5\cdot 3750 = 300 + 1875 = 2175.
  2. I = 300 + 0{,}2\cdot 3750 = 300 + 750 = 1050.
  3. G = 400 (dado).
  4. NX = 500 - 0{,}1\cdot 3750 = 500 - 375 = 125.
Verificação:
C + I + G + NX = 2175 + 1050 + 400 + 125 = 3750 = Y.
Demanda doméstica C+I+G = 2175 + 1050 + 400 = 3625, e de novo Y = (C+I+G) + NX.

Passo 9

Interpretação do que aconteceu com NX quando G aumentou:
  • Inicialmente NX = 175. Após o aumento de G ficou NX = 125. Ou seja, NX diminuiu em 50.
  • Por quê? O aumento de G elevou o produto de equilíbrio Y (de 3250 para 3750), e como as importações M aumentam com Y (função M=0{,}1Y-100), as importações cresceram. Exports X não mudaram (dependem de Y^{*} e e, que não mudaram), então NX=X-M caiu. Numericamente, a variação de NX é exatamente -0{,}1\Delta Y: aqui \Delta Y=500 então \Delta NX = -0{,}1\cdot 500 = -50.
Esse é um canal clássico: expansão fiscal eleva renda, renda maior eleva importações, o que reduz NX.

Passo 10

Agora voltamos ao caso original de G=200, i=0{,}10, e=2, mas aumentamos a renda internacional Y^{*} de 1000 para 1200. Repetimos o procedimento.
Com Y^{*}=1200 e e=2:
X = 100 + 0{,}1\cdot 1200 + 100\cdot 2 = 100 + 120 + 200 = 420.
As importações continuam sendo M = 0{,}1Y - 100. Logo
NX = X - M = 420 - (0{,}1Y - 100) = 520 - 0{,}1Y.
As demais funções (com G=200) são:
C = 300 + 0{,}5Y,\quad I = 300 + 0{,}2Y,\quad G = 200.
Somando para equilíbrio:
Y = (300+0{,}5Y) + (300+0{,}2Y) + 200 + (520 - 0{,}1Y).
Constantes: 300+300+200+520 = 1320. Coeficiente de Y: 0{,}5+0{,}2-0{,}1=0{,}6. Assim:
Y = 1320 + 0{,}6Y.

Passo 11

Resolver para Y:
Y - 0{,}6Y = 1320 \quad\Rightarrow\quad 0{,}4Y = 1320,
Y = \frac{1320}{0{,}4} = 3300.

Passo 12

Calcule C, I, G, NX com Y=3300 (e G=200):
  1. C = 300 + 0{,}5\cdot 3300 = 300 + 1650 = 1950.
  2. I = 300 + 0{,}2\cdot 3300 = 300 + 660 = 960.
  3. G = 200.
  4. NX = 520 - 0{,}1\cdot 3300 = 520 - 330 = 190.
Verificação:
C + I + G + NX = 1950 + 960 + 200 + 190 = 3300 = Y.
Demanda doméstica C+I+G = 1950 + 960 + 200 = 3110, e Y = (C+I+G) + NX está válida.

Passo 13

Interpretação do que aconteceu com NX quando Y^{*} aumentou (comparando com o caso base inicial):
  • Antes (caso base com Y^{*}=1000) tínhamos NX=175. Depois, com Y^{*}=1200, obtivemos NX=190. Ou seja, NX aumentou em 15.
  • Por quê? Quando Y^{*} sobe, isso aumenta diretamente as exportações X (a função tem 0{,}1\cdot Y^{*}). Aqui o aumento de Y^{*} em 200 elevou X em 0{,}1\cdot 200 = 20. Esse choque externo aumentou a demanda agregada, levando a um aumento de Y (neste caso de 3250 para 3300, aumento de 50). O aumento de Y eleva importações em 0{,}1\cdot \Delta Y = 0{,}1\cdot 50 = 5. Assim o efeito líquido sobre NX é \Delta NX = +20 - 5 = +15.
  • Diferença com o caso do aumento de G: no choque de G as exportações X não mudaram, só houve aumento de renda que aumentou importações, portanto NX caiu. No choque de Y^{*} há um aumento direto das exportações (com efeito secundário de maior importação), e o efeito direto predominou aqui, aumentando NX.

Resposta

a) Y = 3250
b) C=1925
I=950
G=200
NX=175
(verificação: C+I+G+NX=1925+950+200+175=3250)
c) (i) Y=3750
(ii) C=2175
I=1050
G=400
NX=125
(verificação: 2175+1050+400+125=3750)
(iii) NX diminuiu de 175 para 125 (queda de 50); ocorreu porque o aumento de G elevou Y, o que aumentou importações e reduziu NX.
d) (i) Y=3300 (quando Y^{*}=1200)
(ii) C=1950
I=960
G=200
NX=190
(verificação: 1950+960+200+190=3300)
(iii) NX aumentou de 175 para 190 (alta de 15); aqui o aumento de Y^{*} elevou exportações diretamente (+20), parte foi compensada por maior importação devido ao maior Y (+5), resultando em +15 para NX.

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