Prove que se \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem, então:
a) \sum a_{n} b_{n} converge absolutamente;
b) \sum\left(a_{n}+b_{n}\right)^{2} converge.

Passo 1

O enunciado dá que as duas séries
\sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem (ou seja, seus somatórios são finitos). Pede para provar duas coisas:
a) Que \sum a_{n} b_{n} converge absolutamente (isto é, que \sum |a_{n}b_{n}| converge).
b) Que \sum\left(a_{n}+b_{n}\right)^{2} converge.
As informações relevantes são exatamente as convergências de \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2}. Nada mais é dado nem necessário.

Passo 2

Antes de resolver, vamos lembrar (de forma simples) duas definições e um fato útil:
  • Uma série \sum x_{n} converge absolutamente se \sum |x_{n}| converge. Convergência absoluta implica convergência.
  • Se temos duas séries convergentes (com termos reais), então a série obtida somando termo a termo também converge; mais precisamente, se \sum u_{n} e \sum v_{n} convergem, então \sum (u_{n}+v_{n}) converge e \sum (c\,u_{n}) converge para qualquer constante c.
  • Uma ferramenta simples que vamos usar é a desigualdade obtida a partir do quadrado de uma diferença: para quaisquer números reais x e y vale (|x|-|y|)^{2}\ge 0. Isso dá uma desigualdade entre |xy| e x^{2},y^{2} que é fácil de aplicar termo a termo.
Vou usar essa desigualdade porque ela é elementar, não precisa de teoremas mais avançados, e já permite mostrar a convergência absoluta de \sum |a_nb_n| de modo direto.

Passo 3

Vamos provar a desigualdade elementar que vamos usar. Para quaisquer reais u e v consideramos (|u|-|v|)^{2}\ge 0. Desenvolvendo:
(|u|-|v|)^{2} = u^{2} + v^{2} - 2|u||v| \ge 0.
Rearranjando obtemos
2|u||v| \le u^{2} + v^{2},
ou seja
|u v| \le \frac{u^{2}+v^{2}}{2}.
Essa desigualdade vale para quaisquer u,v\in\mathbb{R}. É a versão que precisamos para cada termo da sequência.

Passo 4

Aplicamos a desigualdade do passo anterior aos termos u=a_{n} e v=b_{n}. Para todo n temos:
|a_{n} b_{n}| \le \frac{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}{2}.
Somando essa desigualdade para n=1 até N (somatórios parciais) obtemos:
\sum_{n=1}^{N} |a_{n} b_{n}| \le \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N} a_{n}^{2} \;+\; \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N} b_{n}^{2}.
Como \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem, os somatórios parciais do lado direito têm limite finito quando N\to\infty. Portanto o lado esquerdo é uma sequência de somas parciais de uma série não decrescente (pois os termos |a_nb_n|\ge0) que é limitada superiormente por um número finito. Logo essa sequência de somas parciais converge quando N\to\infty. Isso mostra que
\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n} b_{n}|
converge, ou seja, \sum a_{n} b_{n} converge absolutamente.
Observação rápida (intuitiva): somar termos não-negativos cujo somatório parcial fica sempre ≤ número finito força convergência — é o argumento padrão para séries com termos não-negativos.

Passo 5

Agora, com (a) resolvida, usamos isso para provar (b). Começamos expandindo o quadrado:
\left(a_{n}+b_{n}\right)^{2} = a_{n}^{2} + 2a_{n}b_{n} + b_{n}^{2}.
Portanto, para a série pedida:
\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_{n}+b_{n}\right)^{2} = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2} \;+\; 2\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n} \;+\; \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}.

Passo 6

Explico por que a igualdade do passo anterior faz sentido: sabemos que \sum a_{n}^{2} e \sum b_{n}^{2} convergem (hipótese), e do item (a) já mostramos que \sum a_{n}b_{n} converge (na verdade converge absolutamente). Como somas e constantes multiplicadas preservam convergência, cada uma das três séries à direita é convergente. A soma de séries convergentes é convergente. Logo o somatório da esquerda, que é a soma termo a termo dessas três séries, também converge.
Assim \sum (a_{n}+b_{n})^{2} converge.

Passo 7

Recapitulando de forma direta e prática (o que você pode usar na prova): monte a desigualdade
|a_{n}b_{n}| \le \frac{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}{2},
some em n e use a hipótese para concluir que \sum |a_{n}b_{n}| é finita (parte a). Depois expanda (a_{n}+b_{n})^{2} e use que as três séries resultantes são convergentes para concluir parte b). Você pode escrever isso em poucas linhas na prova; aqui eu mostrei cada passo com calma para fixar.

Resposta

(a) \sum a_{n} b_{n} converge absolutamente.
(b) \sum\left(a_{n}+b_{n}\right)^{2} converge.

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