Prove que se
e
convergem, então:
a)
converge absolutamente;
b)
converge.
a)
b)
Passo 1
O enunciado dá que as duas séries
e
convergem (ou seja, seus somatórios são finitos). Pede para provar duas coisas:
a) Que
converge absolutamente (isto é, que
converge).
b) Que
converge.
As informações relevantes são exatamente as convergências de
e
. Nada mais é dado nem necessário.
Passo 2
Antes de resolver, vamos lembrar (de forma simples) duas definições e um fato útil:
-
Uma série
converge absolutamente se converge. Convergência absoluta implica convergência. -
Se temos duas séries convergentes (com termos reais), então a série obtida somando termo a termo também converge; mais precisamente, se
e convergem, então converge e converge para qualquer constante . -
Uma ferramenta simples que vamos usar é a desigualdade obtida a partir do quadrado de uma diferença: para quaisquer números reais
e vale . Isso dá uma desigualdade entre e que é fácil de aplicar termo a termo.
Vou usar essa desigualdade porque ela é elementar, não precisa de teoremas mais avançados, e já permite mostrar a convergência absoluta de
de modo direto.
Passo 3
Vamos provar a desigualdade elementar que vamos usar. Para quaisquer reais
e
consideramos
. Desenvolvendo:
Rearranjando obtemos
ou seja
Essa desigualdade vale para quaisquer
. É a versão que precisamos para cada termo da sequência.
Passo 4
Aplicamos a desigualdade do passo anterior aos termos
e
. Para todo
temos:
Somando essa desigualdade para
até
(somatórios parciais) obtemos:
Como
e
convergem, os somatórios parciais do lado direito têm limite finito quando
. Portanto o lado esquerdo é uma sequência de somas parciais de uma série não decrescente (pois os termos
) que é limitada superiormente por um número finito. Logo essa sequência de somas parciais converge quando
. Isso mostra que
converge, ou seja,
converge absolutamente.
Observação rápida (intuitiva): somar termos não-negativos cujo somatório parcial fica sempre ≤ número finito força convergência — é o argumento padrão para séries com termos não-negativos.
Passo 5
Agora, com (a) resolvida, usamos isso para provar (b). Começamos expandindo o quadrado:
Portanto, para a série pedida:
Passo 6
Explico por que a igualdade do passo anterior faz sentido: sabemos que
e
convergem (hipótese), e do item (a) já mostramos que
converge (na verdade converge absolutamente). Como somas e constantes multiplicadas preservam convergência, cada uma das três séries à direita é convergente. A soma de séries convergentes é convergente. Logo o somatório da esquerda, que é a soma termo a termo dessas três séries, também converge.
Assim
converge.
Passo 7
Recapitulando de forma direta e prática (o que você pode usar na prova): monte a desigualdade
some em
e use a hipótese para concluir que
é finita (parte a). Depois expanda
e use que as três séries resultantes são convergentes para concluir parte b). Você pode escrever isso em poucas linhas na prova; aqui eu mostrei cada passo com calma para fixar.
Resposta
(a)
converge absolutamente.
(b) converge.
(b)