Uma suspensão de células de Bacillus subtilis foi filtrada sob pressão constante para recuperação de uma protease. Um filtro em escala-piloto foi usado para medir as propriedades da filtração. A área do filtro foi de 0,25 \mathrm{~m}^{2}, a diferença de pressão foi de 360 mmHg , e a viscosidade do filtrado era de 4,0 \mathrm{cP}. A suspensão de células depositou 22 g de torta por litro de filtrado. Os seguintes dados foram coletados:
Tempo (min) 2 3 6 10 15 20
Volume filtrado (L) 9,8 12,1 18,0 23,8 29,9 37,5
Assumindo que a resistência do meio seja insignificante, e com base nos dados obtidos na escala piloto, qual deve ser a área do filtro para processar 4000 L de suspensão de células em 30 min com a diferença de pressão de 360 mmHg ?

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
Pergunta: qual deve ser a área do filtro para processar 4000\\ \mathrm{L} de suspensão em 30\\ \mathrm{min} com \Delta P = 360\\ \mathrm{mmHg}, assumindo que a resistência do meio é insignificante e usando os dados do ensaio piloto.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Área do filtro (piloto)}\;A_p = 0{,}25\\ \mathrm{m}^2,\\\ &\text{Diferença de pressão}\;\Delta P = 360\\ \mathrm{mmHg},\\\ &\text{Viscosidade do filtrado}\;\mu = 4{,}0\\ \mathrm{cP} = 4{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\\ &\text{Torta depositada: }22\\ \mathrm{g\\ por\\ litro\\ de\\ filtrado}\\ (\text{isto define a concentração de sólidos }c),\\\ &\text{Dados tempo–volume:} \end{aligned}Áçãçãó
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Tempo (min)} & \text{Volume filtrado (L)}\\\ \hline 2 & 9{,}8\\\\ 3 & 12{,}1\\\\ 6 & 18{,}0\\\\ 10 & 23{,}8\\\\ 15 & 29{,}9\\\\ 20 & 37{,}5\\\ \hline \end{array}
Observação útil para a solução: como a resistência do meio é insignificante, usaremos a forma simplificada da equação de filtração a pressão constante que relaciona t e V através da resistência da torta apenas.

Passo 2

Apresentando o modelo teórico (muito didático) e explicando cada termo.
Em filtração a pressão constante, quando a resistência do meio é desprezível, a equação que relaciona tempo acumulado t e volume filtrado acumulado V é (forma linear em t/V):
\frac{t}{V} = \frac{\mu\,\alpha\,c}{2\,\Delta P\,A^{2}}\; V,
onde:
  • \mu é a viscosidade do filtrado ( \mathrm{Pa\cdot s});
  • \alpha é a resistência específica da torta (unidade típica \mathrm{m/kg});
  • c é a concentração de sólidos na suspensão (massa de sólidos por volume de filtrado, \mathrm{kg/m^3});
  • \Delta P é a diferença de pressão (Pa);
  • A é a área do filtro ( \mathrm{m^2});
  • t é o tempo acumulado (s);
  • V é o volume filtrado acumulado ( \mathrm{m^3}).
Explicação direta: a equação mostra que se traçarmos \frac{t}{V} em função de V obtemos uma reta passando pela origem (já que desprezamos a resistência do meio), cujo coeficiente angular (declive) é
m \equiv \frac{\mu\,\alpha\,c}{2\,\Delta P\,A^{2}}.
Do ensaio piloto obtemos esse declive m; com ele podemos calcular o produto \alpha c (característica do sistema) e então calcular a área necessária A para qualquer condição desejada de V e t.

Passo 3

Conversão de unidades e cálculo de c (concentração de sólidos) a partir da informação da torta.
  1. Conversões:
\Delta P = 360\\ \mathrm{mmHg}\times 133{,}322\\ \frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{mmHg}} = 47995{,}92\\ \mathrm{Pa}.
\mu = 4{,}0\\ \mathrm{cP} = 4{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  1. A torta depositou 22\\ \mathrm{g} de torta por litro de filtrado. Isso significa:
c = 22\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{L}} = 22\\ \frac{10^{-3}\\ \mathrm{kg}}{10^{-3}\\ \mathrm{m}^3} = 22{,}0\\ \mathrm{kg/m}^3.
(Obs.: não vamos separar \alpha e c porque o ensaio nos dará o produto \alpha c. A informação acima só confirma o valor de c.)

Passo 4

Cálculo dos valores experimentais de \frac{t}{V} a partir dos dados do piloto (com todas as conversões).
Convertemos tempos para segundos e volumes para \mathrm{m}^3:
\begin{aligned} &t: \;2,\\\ 3,\\\ 6,\\\ 10,\\\ 15,\\\ 20\\ \mathrm{min} \;\to\; 120,\\\ 180,\\\ 360,\\\ 600,\\\ 900,\\\ 1200\\ \mathrm{s},\\\ &V: \;9{,}8,\\\ 12{,}1,\\\ 18{,}0,\\\ 23{,}8,\\\ 29{,}9,\\\ 37{,}5\\ \mathrm{L} \;\to\; 0{,}0098,\\\ 0{,}0121,\\\ 0{,}0180,\\\ 0{,}0238,\\\ 0{,}0299,\\\ 0{,}0375\\ \mathrm{m}^3. \end{aligned}
Agora calculamos \dfrac{t}{V} para cada ponto:
\begin{aligned} \frac{120}{0{,}0098} &\approx 12244{,}90\\ \mathrm{s/m}^3,\\\ \frac{180}{0{,}0121} &\approx 14876{,}03\\ \mathrm{s/m}^3,\\\ \frac{360}{0{,}0180} &= 20000{,}00\\ \mathrm{s/m}^3,\\\ \frac{600}{0{,}0238} &\approx 25210{,}08\\ \mathrm{s/m}^3,\\\ \frac{900}{0{,}0299} &\approx 30100{,}33\\ \mathrm{s/m}^3,\\\ \frac{1200}{0{,}0375} &= 32000{,}00\\ \mathrm{s/m}^3. \end{aligned}
Esses são os pares experimentais \big(V,\tfrac{t}{V}\big) que usaremos para obter o declive m.

Passo 5

Cálculo do declive m da reta \frac{t}{V} versus V por regressão linear (detalhado, passo a passo).
Para obter o declive usamos a fórmula da regressão por mínimos quadrados (declive = \dfrac{\sum (V_i-\bar V)(y_i-\bar y)}{\sum (V_i-\bar V)^2}, onde y_i=\tfrac{t_i}{V_i}).
  1. Médias:
\bar V = \frac{0{,}0098+0{,}0121+0{,}0180+0{,}0238+0{,}0299+0{,}0375}{6} = 0{,}02185\\ \mathrm{m}^3,
\overline{\left(\frac{t}{V}\right)} = \frac{12244{,}90 +14876{,}03 +20000{,}00 +25210{,}08 +30100{,}33 +32000{,}00}{6} \approx 22405{,}22\\ \mathrm{s/m}^3.
  1. Calculamos somatórios necessários (estou resumindo os produtos já calculados no detalhe):
\sum (V_i-\bar V)\Big(\frac{t_i}{V_i}-\overline{\frac{t}{V}}\Big) \approx 422{,}6744,
\sum (V_i-\bar V)^2 \approx 0{,}000568615\\ \mathrm{m}^6.
  1. Portanto o declive experimental é
m = \frac{422{,}6744}{0{,}000568615} \approx 743518\\ \mathrm{s/m}^6.
Comentário sobre unidades: m tem dimensão de \dfrac{t/V}{V} = \mathrm{s/m}^6, consistente com a equação teórica.

Passo 6

Determinação do produto \alpha c a partir do declive do piloto.
Lembrando a relação entre m e \alpha c:
m = \frac{\mu\,\alpha\,c}{2\,\Delta P\,A_p^{2}} \quad\Rightarrow\quad \alpha c = \frac{2\,\Delta P\,A_p^{2}\,m}{\mu}.
Substituindo números (todos já com unidades SI):
\begin{aligned} \alpha c &= \frac{2\cdot 47995{,}92\\ \mathrm{Pa}\cdot (0{,}25\\ \mathrm{m}^2)^2 \cdot 743518\\ \mathrm{s/m}^6}{4{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}}\\[4pt] &= \frac{5999{,}49\cdot 743518}{4{,}0\times 10^{-3}}\\[4pt] &\approx 1{,}11518\times 10^{12}. \end{aligned}
Portanto \alpha c \approx 1{,}115\times 10^{12} (unidade implícita consistente com o produto \alpha c nos SI).]

Passo 7

Cálculo da área necessária A para processar V_{\text{req}}=4000\\ \mathrm{L}=4{,}0\\ \mathrm{m}^3 em t_{\text{req}}=30\\ \mathrm{min}=1800\\ \mathrm{s}.
Usamos a forma integrada da mesma relação (com intercepto nulo):
t = K\,V^2,\quad\text{onde}\quad K=\frac{\mu\,\alpha\,c}{2\,\Delta P\,A^{2}}.
Isolando A:
A^{2} = \frac{\mu\,\alpha\,c\,V^2}{2\,\Delta P\,t}\quad\Rightarrow\quad A = \sqrt{\frac{\mu\,\alpha\,c\,V^2}{2\,\Delta P\,t}}.
Substituindo valores:
\begin{aligned} A^{2} &= \frac{(4{,}0\times 10^{-3})\cdot(1{,}11518\times 10^{12})\cdot(4{,}0)^2}{2\cdot 47995{,}92\cdot 1800}\\[4pt] &= \frac{4{,}4607286\times 10^{9}\cdot 16}{172785312}\\[4pt] &\approx 413{,}317 \end{aligned}
portanto
A \approx \sqrt{413{,}317}\approx 20{,}33\\ \mathrm{m}^2.
Observação prática: isto significa que, com as mesmas condições de pressão e características de torta observadas no piloto, precisamos de uma área de filtro muito maior para filtrar 4{,}0\\ \mathrm{m}^3 em 30\\ \mathrm{min}.]

Resposta

\displaystyle A \approx 20{,}3\\ \mathrm{m}^2

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