Uma suspensão de células de Bacillus subtilis foi filtrada sob pressão constante para recuperação de uma protease. Um filtro em escala-piloto foi usado para medir as propriedades da filtração. A área do filtro foi de 0,25 \mathrm{~m}^{2}, a diferença de pressão foi de 360 mmHg , e a viscosidade do filtrado era de 4,0 \mathrm{cP}. A suspensão de células depositou 22 g de torta por litro de filtrado. Os seguintes dados foram coletados:
Tempo (min)
2
3
6
10
15
20
Volume filtrado (L)
9,8
12,1
18,0
23,8
29,9
37,5
Assumindo que a resistência do meio seja insignificante, e com base nos dados obtidos na escala piloto, qual deve ser a área do filtro para processar 4000 L de suspensão de células em 30 min com a diferença de pressão de 360 mmHg ?
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado.
Pergunta: qual deve ser a área do filtro para processar 4000\\ \mathrm{L} de suspensão em 30\\ \mathrm{min} com \Delta P = 360\\ \mathrm{mmHg}, assumindo que a resistência do meio é insignificante e usando os dados do ensaio piloto.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Área do filtro (piloto)}\;A_p = 0{,}25\\ \mathrm{m}^2,\\\ &\text{Diferença de pressão}\;\Delta P = 360\\ \mathrm{mmHg},\\\ &\text{Viscosidade do filtrado}\;\mu = 4{,}0\\ \mathrm{cP} = 4{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\\\ &\text{Torta depositada: }22\\ \mathrm{g\\ por\\ litro\\ de\\ filtrado}\\ (\text{isto define a concentração de sólidos }c),\\\ &\text{Dados tempo–volume:} \end{aligned}
Observação útil para a solução: como a resistência do meio é insignificante, usaremos a forma simplificada da equação de filtração a pressão constante que relaciona t e V através da resistência da torta apenas.
Passo 2
Apresentando o modelo teórico (muito didático) e explicando cada termo.
Em filtração a pressão constante, quando a resistência do meio é desprezível, a equação que relaciona tempo acumulado t e volume filtrado acumulado V é (forma linear em t/V):
\mu é a viscosidade do filtrado (\mathrm{Pa\cdot s});
\alpha é a resistência específica da torta (unidade típica \mathrm{m/kg});
c é a concentração de sólidos na suspensão (massa de sólidos por volume de filtrado, \mathrm{kg/m^3});
\Delta P é a diferença de pressão (Pa);
A é a área do filtro (\mathrm{m^2});
t é o tempo acumulado (s);
V é o volume filtrado acumulado (\mathrm{m^3}).
Explicação direta: a equação mostra que se traçarmos \frac{t}{V} em função de V obtemos uma reta passando pela origem (já que desprezamos a resistência do meio), cujo coeficiente angular (declive) é
m \equiv \frac{\mu\,\alpha\,c}{2\,\Delta P\,A^{2}}.
Do ensaio piloto obtemos esse declive m; com ele podemos calcular o produto \alpha c (característica do sistema) e então calcular a área necessária A para qualquer condição desejada de V e t.
Passo 3
Conversão de unidades e cálculo de c (concentração de sólidos) a partir da informação da torta.
Conversões:
\Delta P = 360\\ \mathrm{mmHg}\times 133{,}322\\ \frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{mmHg}} = 47995{,}92\\ \mathrm{Pa}.
Esses são os pares experimentais \big(V,\tfrac{t}{V}\big) que usaremos para obter o declive m.
Passo 5
Cálculo do declive m da reta \frac{t}{V} versus V por regressão linear (detalhado, passo a passo).
Para obter o declive usamos a fórmula da regressão por mínimos quadrados (declive = \dfrac{\sum (V_i-\bar V)(y_i-\bar y)}{\sum (V_i-\bar V)^2}, onde y_i=\tfrac{t_i}{V_i}).
Médias:
\bar V = \frac{0{,}0098+0{,}0121+0{,}0180+0{,}0238+0{,}0299+0{,}0375}{6} = 0{,}02185\\ \mathrm{m}^3,
Portanto \alpha c \approx 1{,}115\times 10^{12} (unidade implícita consistente com o produto \alpha c nos SI).]
Passo 7
Cálculo da área necessária A para processar V_{\text{req}}=4000\\ \mathrm{L}=4{,}0\\ \mathrm{m}^3 em t_{\text{req}}=30\\ \mathrm{min}=1800\\ \mathrm{s}.
Usamos a forma integrada da mesma relação (com intercepto nulo):
t = K\,V^2,\quad\text{onde}\quad K=\frac{\mu\,\alpha\,c}{2\,\Delta P\,A^{2}}.
Isolando A:
A^{2} = \frac{\mu\,\alpha\,c\,V^2}{2\,\Delta P\,t}\quad\Rightarrow\quad A = \sqrt{\frac{\mu\,\alpha\,c\,V^2}{2\,\Delta P\,t}}.
A \approx \sqrt{413{,}317}\approx 20{,}33\\ \mathrm{m}^2.
Observação prática: isto significa que, com as mesmas condições de pressão e características de torta observadas no piloto, precisamos de uma área de filtro muito maior para filtrar 4{,}0\\ \mathrm{m}^3 em 30\\ \mathrm{min}.]