Uma suspensão da microalga vermelha Porphyridium cruentum foi filtrada em laboratório em um funil de Büchner de 6 cm de diâmetro com pressão de vácuo de 5 psi . A suspensão continha 7,5 \mathrm{~g} de células por litro de filtrado, cuja viscosidade era de 10^{-3} \mathrm{~Pa} s. Os seguintes dados foram obtidos:
Tempo (min) 1 2 3 4 5
Volume filtrado (mL) 124 191 245 289 330
a) Pretende-se usar o mesmo filtro para clarificar uma suspensão mais concentrada de P. cruentum. Qual deve ser a máxima concentração celular a ser usada para se coletar 200 mL de filtrado em 5 min ?

Passo 1

O enunciado pede: qual a máxima concentração celular que se pode usar para, com o mesmo filtro e nas mesmas condições de vácuo, coletar 200\\ \mathrm{mL} de filtrado em 5\\ \mathrm{min} ?
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Diâmetro do funil: } d = 6\\ \mathrm{cm}.\\\ &\text{Pressão de vácuo: } \Delta P = 5\\ \text{psi}.\\\ &\text{Concentração da suspensão usada nos experimentos: } c = 7{,}5\\ \mathrm{g\;L^{-1}}.\\\ &\text{Viscosidade do filtrado: } \mu = 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\;s}.\\\ &\text{Dados experimentais (tempo cumulativo vs volume filtrado):} \end{aligned}âãáçãã
Tabela original (dado no enunciado):
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Tempo (min)} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\ \hline \text{Volume (mL)} & 124 & 191 & 245 & 289 & 330\\\ \hline \end{array}
Objetivo operacional: usar esses dados experimentais para obter os parâmetros do filtro (resistência do meio e resistência específica do bolo) e, mantendo esses parâmetros, calcular a concentração máxima c_{\text{max}} tal que, ao filtrar com a mesma pressão, se obtenha V=200\\ \mathrm{mL} em t=5\\ \mathrm{min}.

Passo 2

Princípio físico e equação útil (explicação didática passo a passo).
Quando se filtra sob pressão constante através de um meio e de um bolo de partículas, o escoamento obedece à lei de Darcy. A resistência total à passagem do fluido é a soma da resistência do meio filtrante R_m e da resistência do bolo R_c. Para separação por filtração contínua acumulada, usa-se a formulação padrão:
  • A resistência do bolo cresce com o volume filtrado V porque mais massa de sólidos se deposita sobre a área A. A modelagem usual é
R_c = \alpha\, c\, \frac{V}{A},
onde \alpha é a resistência específica do bolo (unidade típica \mathrm{m\;kg^{-1}}), c é a concentração de sólidos na suspensão (em \mathrm{kg\;m^{-3}}), V é o volume filtrado (em \mathrm{m^3}) e A é a área do funil (em \mathrm{m^2}).
  • A taxa de vazão volumétrica é dada por (forma rearranjada de Darcy):
\frac{dV}{dt} = \frac{\Delta P}{\mu (R_m + R_c)}\, A.
Reorganizando e integrando resulta na forma linearizada prática (muito usada em provas e laboratórios):
\frac{t}{V} = \underbrace{\frac{\mu \alpha c}{2\,\Delta P\,A^{2}}}_{\text{slope }(S)}\,V \;+\; \underbrace{\frac{\mu R_m}{\Delta P\,A}}_{\text{intercept }(B)}.
Explicação das variáveis:
  • t: tempo cumulativo de filtração ( \mathrm{s}),
  • V: volume cumulativo filtrado ( \mathrm{m^3}),
  • \mu: viscosidade do fluido ( \mathrm{Pa\;s}),
  • \Delta P: diferença de pressão aplicada ( \mathrm{Pa}),
  • A: área do filtro ( \mathrm{m^2}),
  • \alpha: resistência específica do bolo ( \mathrm{m\;kg^{-1}}),
  • c: concentração de sólidos ( \mathrm{kg\;m^{-3}}),
  • R_m: resistência do meio ( \mathrm{m^{-1}}).
Portanto, fazendo um ajuste linear de \dfrac{t}{V} em função de V obtemos a inclinação S e o intercepto B, que permitem calcular \alpha e R_m:
S = \frac{\mu \alpha c}{2\,\Delta P\,A^{2}},\qquad B = \frac{\mu R_m}{\Delta P\,A}.

Passo 3

Conversões de unidades e cálculo da área do funil.
  • Converter concentração experimental c=7{,}5\\ \mathrm{g\;L^{-1}} para \mathrm{kg\;m^{-3}}:
c = 7{,}5\\ \mathrm{g\;L^{-1}} = 7{,}5\\ \mathrm{kg\;m^{-3}}.
(lembrando que 1\\ \mathrm{g\;L^{-1}}=1\\ \mathrm{kg\;m^{-3}}).
  • Converter pressão: 1\\ \text{psi}=6894{,}76\\ \mathrm{Pa}, então
\Delta P = 5\\ \text{psi} = 5\cdot 6894{,}76 = 34\,473{,}8\\ \mathrm{Pa}.
  • Área do funil de diâmetro d=6\\ \mathrm{cm}=0{,}06\\ \mathrm{m}:
A = \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}06)^{2}}{4} = 0{,}002827433\\ \mathrm{m^{2}} \\ (\text{aprox. }2{,}827\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}).
  • Converter volumes da tabela para \mathrm{m^{3}} e tempos para \mathrm{s}:
\begin{aligned} &V_1=124\\ \mathrm{mL}=124\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}=1{,}24\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}},\quad t_1=60\\ \mathrm{s},\\\ &V_2=191\\ \mathrm{mL}=1{,}91\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}},\quad t_2=120\\ \mathrm{s},\\\ &V_3=245\\ \mathrm{mL}=2{,}45\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}},\quad t_3=180\\ \mathrm{s},\\\ &V_4=289\\ \mathrm{mL}=2{,}89\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}},\quad t_4=240\\ \mathrm{s},\\\ &V_5=330\\ \mathrm{mL}=3{,}30\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}},\quad t_5=300\\ \mathrm{s}. \end{aligned}

Passo 4

Calcular \dfrac{t}{V} para cada ponto (necessário para o ajuste linear).
\begin{aligned} &\frac{t_1}{V_1}=\frac{60}{1{,}24\times 10^{-4}}=483\,870{,}97\\ \mathrm{s\;m^{-3}},\\\ &\frac{t_2}{V_2}=\frac{120}{1{,}91\times 10^{-4}}=628\,272{,}25\\ \mathrm{s\;m^{-3}},\\\ &\frac{t_3}{V_3}=\frac{180}{2{,}45\times 10^{-4}}=734\,693{,}88\\ \mathrm{s\;m^{-3}},\\\ &\frac{t_4}{V_4}=\frac{240}{2{,}89\times 10^{-4}}=830\,796{,}33\\ \mathrm{s\;m^{-3}},\\\ &\frac{t_5}{V_5}=\frac{300}{3{,}30\times 10^{-4}}=909\,090{,}91\\ \mathrm{s\;m^{-3}}. \end{aligned}

Passo 5

Ajuste linear de \dfrac{t}{V} em função de V: cálculo dos coeficientes por mínimos quadrados (fórmulas e aplicação numérica).
Fórmulas para a reta y = S\,x + B com x=V e y=t/V:
S = \frac{n\sum x y - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2} - (\sum x)^{2}},\qquad B = \frac{\sum y - S\sum x}{n},
com n=5. Observação útil: \sum x y = \sum V\cdot (t/V)=\sum t.
Calculei (somatórios):
\begin{aligned} &\sum V = 1{,}179\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}},\\\ &\sum \frac{t}{V} = 3{,}586{,}724{,}33\\ \mathrm{s\;m^{-3}},\\\ &\sum V^{2} = 3{,}04303\times 10^{-7}\\ \mathrm{m^{6}},\\\ &\sum t = 900\\ \mathrm{s}. \end{aligned}
Aplicando as fórmulas resulta (cálculos numéricos):
\begin{aligned} &S \approx 2{,}0631\times 10^{9}\\ \mathrm{s\;m^{-6}},\\\ &B \approx 230\,855{,}75\\ \mathrm{s\;m^{-3}}. \end{aligned}
Interpretação: S é a inclinação da reta (unidade \mathrm{s\;m^{-6}} porque y tem \mathrm{s\;m^{-3}} e x tem \mathrm{m^{3}}), e B é o intercepto.

Passo 6

Calcular \alpha e R_m a partir de S e B.
Das relações:
S = \frac{\mu \alpha c}{2\,\Delta P\,A^{2}}\quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{2\,\Delta P\,A^{2}\,S}{\mu\,c}.
Substituindo os valores ( \mu=10^{-3}\\ \mathrm{Pa\;s}, c=7{,}5\\ \mathrm{kg\;m^{-3}}, \Delta P=34\,473{,}8\\ \mathrm{Pa}, A=0{,}002827433\\ \mathrm{m^{2}}, S=2{,}0631\times 10^{9}\\ \mathrm{s\;m^{-6}}):
\alpha \approx 1{,}52\times 10^{11}\\ \mathrm{m\;kg^{-1}}.
Da outra relação:
B = \frac{\mu R_m}{\Delta P\,A}\quad\Rightarrow\quad R_m = \frac{B\,\Delta P\,A}{\mu}.
Substituindo B=230\,855{,}75\\ \mathrm{s\;m^{-3}}:
R_m \approx 2{,}25\times 10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Comentário curto: esses dois parâmetros descrevem o filtro + meio para esta espécie/condição e serão usados como constantes ao estimar a nova concentração.

Passo 7

Calcular a concentração máxima c_{\text{max}} que permite filtrar V=200\\ \mathrm{mL} em t=5\\ \mathrm{min}.
Dados alvo:
V_{\text{target}} = 200\\ \mathrm{mL}=2{,}00\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}},\qquad t_{\text{target}}=5\\ \mathrm{min}=300\\ \mathrm{s}.
Usamos a equação linearizada escrita de forma útil:
\frac{t}{V} = S_{\text{new}}\,V + B,
onde agora S_{\text{new}}=\dfrac{\mu \alpha c_{\text{max}}}{2\,\Delta P\,A^{2}}. Primeiro encontramos S_{\text{new}} a partir de t e V:
\frac{t}{V}=\frac{300}{2{,}00\times 10^{-4}}=1{,}500{,}000\\ \mathrm{s\;m^{-3}}.
Logo
S_{\text{new}}=\frac{\tfrac{t}{V}-B}{V}=\frac{1{,}500{,}000 - 230{,}855{,}75}{2{,}00\times 10^{-4}} \approx 6{,}3457\times 10^{9}\\ \mathrm{s\;m^{-6}}.
Agora isolamos c_{\text{max}} usando S_{\text{new}} = \dfrac{\mu \alpha c_{\text{max}}}{2\,\Delta P\,A^{2}}:
c_{\text{max}} = \frac{2\,\Delta P\,A^{2}\,S_{\text{new}}}{\mu\,\alpha}.
Substituindo os números ( \alpha e demais constantes calculadas antes) dá:
c_{\text{max}} \approx 23{,}1\\ \mathrm{kg\;m^{-3}}.
Converter para a unidade usual em laboratório ( \mathrm{g\;L^{-1}}):
c_{\text{max}} \approx 23{,}1\\ \mathrm{g\;L^{-1}}.
Interpretação curta: isto significa que, mantendo o mesmo filtro e as mesmas condições de vácuo e viscosidade do filtrado, a suspensão concentrada não deve exceder aproximadamente 23{,}1\\ \mathrm{g\;L^{-1}} se se quiser garantir 200\\ \mathrm{mL} em 5\\ \mathrm{min}.

Resposta

23{,}1\\ \mathrm{g\;L^{-1}}

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