Uma suspensão da microalga vermelha Porphyridium cruentum foi filtrada em laboratório em um funil de Büchner de 6 cm de diâmetro com pressão de vácuo de 5 psi . A suspensão continha 7,5 \mathrm{~g} de células por litro de filtrado, cuja viscosidade era de 10^{-3} \mathrm{~Pa} s. Os seguintes dados foram obtidos:
Tempo (min)
1
2
3
4
5
Volume filtrado (mL)
124
191
245
289
330
a) Pretende-se usar o mesmo filtro para clarificar uma suspensão mais concentrada de P. cruentum. Qual deve ser a máxima concentração celular a ser usada para se coletar 200 mL de filtrado em 5 min ?
Passo 1
O enunciado pede: qual a máxima concentração celular que se pode usar para, com o mesmo filtro e nas mesmas condições de vácuo, coletar 200\\ \mathrm{mL} de filtrado em 5\\ \mathrm{min} ?
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Diâmetro do funil: } d = 6\\ \mathrm{cm}.\\\ &\text{Pressão de vácuo: } \Delta P = 5\\ \text{psi}.\\\ &\text{Concentração da suspensão usada nos experimentos: } c = 7{,}5\\ \mathrm{g\;L^{-1}}.\\\ &\text{Viscosidade do filtrado: } \mu = 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\;s}.\\\ &\text{Dados experimentais (tempo cumulativo vs volume filtrado):} \end{aligned}
Objetivo operacional: usar esses dados experimentais para obter os parâmetros do filtro (resistência do meio e resistência específica do bolo) e, mantendo esses parâmetros, calcular a concentração máxima c_{\text{max}} tal que, ao filtrar com a mesma pressão, se obtenha V=200\\ \mathrm{mL} em t=5\\ \mathrm{min}.
Passo 2
Princípio físico e equação útil (explicação didática passo a passo).
Quando se filtra sob pressão constante através de um meio e de um bolo de partículas, o escoamento obedece à lei de Darcy. A resistência total à passagem do fluido é a soma da resistência do meio filtrante R_m e da resistência do bolo R_c. Para separação por filtração contínua acumulada, usa-se a formulação padrão:
A resistência do bolo cresce com o volume filtrado V porque mais massa de sólidos se deposita sobre a área A. A modelagem usual é
R_c = \alpha\, c\, \frac{V}{A},
onde \alpha é a resistência específica do bolo (unidade típica \mathrm{m\;kg^{-1}}), c é a concentração de sólidos na suspensão (em \mathrm{kg\;m^{-3}}), V é o volume filtrado (em \mathrm{m^3}) e A é a área do funil (em \mathrm{m^2}).
A taxa de vazão volumétrica é dada por (forma rearranjada de Darcy):
\frac{dV}{dt} = \frac{\Delta P}{\mu (R_m + R_c)}\, A.
Reorganizando e integrando resulta na forma linearizada prática (muito usada em provas e laboratórios):
Comentário curto: esses dois parâmetros descrevem o filtro + meio para esta espécie/condição e serão usados como constantes ao estimar a nova concentração.
Passo 7
Calcular a concentração máxima c_{\text{max}} que permite filtrar V=200\\ \mathrm{mL} em t=5\\ \mathrm{min}.
Interpretação curta: isto significa que, mantendo o mesmo filtro e as mesmas condições de vácuo e viscosidade do filtrado, a suspensão concentrada não deve exceder aproximadamente 23{,}1\\ \mathrm{g\;L^{-1}} se se quiser garantir 200\\ \mathrm{mL} em 5\\ \mathrm{min}.