O enunciado dá o operador T:\mathscr{P}_{2}\to\mathscr{P}_{2} definido por
T\bigl(a+bx+cx^{2}\bigr)=(a+1)+(b+1)x+(c+1)x^{2}.
Vou resolver as perguntas mais comuns que surgem para um operador assim (e que provavelmente seu professor quer que você saiba):\n
Verificar se T é linear (isto é, satisfaz aditividade e homogeneidade).\n
Escrever T como soma de uma parte linear e um vetor de translação (se for o caso) e obter a matriz da parte linear na base padrão \{1,x,x^{2}\}.\n
Determinar se T é injetora / sobrejetora (ou seja, bijetora) e, se for bijetora, achar T^{-1}.\n
Encontrar a imagem de T e a pré-imagem de 0 (caso faça sentido).\n
As informações relevantes dadas pelo enunciado são exatamente a fórmula explícita de T: a cada polinômio a+bx+cx^{2} ela adiciona 1 a cada coeficiente.
Passo 2
O que significa ser linear? Vou explicar devagar e com calma, do jeitinho que você precisa para a prova.\n
Uma aplicação L:V\to W entre espaços vetoriais é linear se e somente se, para quaisquer u,v\in V e qualquer escalar \lambda, valem as duas propriedades:\n
(Aditividade) L(u+v)=L(u)+L(v).\n
(Homogeneidade) L(\lambda u)=\lambda L(u).\n
Um teste rápido que salva tempo na prova: verificar se L(0)=0. Se L(0)\neq 0, então L não é linear (porque linha-ridade implica L(0)=0). Vou usar esse teste aqui.
Passo 3
Aplicando o teste rápido ao nosso operador: calcule T(0). Aqui 0 é o polinômio 0+0x+0x^{2}. Usando a definição,
T(0+0x+0x^{2})=(0+1)+(0+1)x+(0+1)x^{2}=1+x+x^{2}.
Como T(0)=1+x+x^{2}\neq 0, concluímos imediatamente que T não é linear. Isso já responde a parte da verificação de linearidade.
Passo 4
Embora T não seja linear, dá para escrever T de uma forma bem simples que ajuda muito: note que
T(a+bx+cx^{2})=(a+bx+cx^{2})+(1+x+x^{2}).
Ou seja, T(p)=p+q para todo p\in\mathscr{P}_{2}, onde q:=1+x+x^{2} é um polinômio fixo. Em palavras: T é a aplicação identidade somada a uma translação constante pelo vetor q. Isso é uma aplicação afim (affine), não linear.
Passo 5
Matriz da parte linear e vetor de translação (como fazer na prova):\n
A “parte linear” de T (ou seja, a aplicação que atua somando nada) é a identidade \mathrm{Id}:\mathscr{P}_{2}\to\mathscr{P}_{2}, porque T(p)=\mathrm{Id}(p)+q.\n
Na base padrão B=\{1,x,x^{2}\}, a matriz da parte linear \mathrm{Id} é a matriz identidade I_{3}. Em notação,
Repare que cada coluna acima é a coluna da identidade mais [q]_{B}.]
Passo 6
Sobrejetividade (como provar direto na prova):\n
Tomemos um polinômio arbitrário r\in\mathscr{P}_{2}. Queremos ver se existe p tal que T(p)=r. Se escrevermos T(p)=p+q, basta escolher
p=r-q.
Então T(p)=p+q=(r-q)+q=r. Assim, para qualquer r existe p com T(p)=r. Logo T é sobrejetora (imagem igual a todo \mathscr{P}_{2}). Em linguagem simples: somando o vetor fixo q deslocamos todo o espaço sobre si mesmo.
Passo 7
Injetividade (prova rápida):\n
Se T(p_{1})=T(p_{2}) então p_{1}+q=p_{2}+q, daí p_{1}=p_{2}. Logo T é injetora. Como T é simultaneamente injetora e sobrejetora, T é bijetora (tem inversa como aplicação entre conjuntos/vetores, embora não seja linear).
Passo 8
A inversa de T (fórmula útil na prova):\n
Como T(p)=p+q, a inversa é simplesmente
T^{-1}(r)=r-q.
Escrevendo q=1+x+x^{2}, temos
T^{-1}(r)=r-(1+x+x^{2}).
Observe que T^{-1} também não é linear (mesmo teste: T^{-1}(0)=-q\neq 0).
Passo 9
Pré-imagem de 0 e observações finais práticas:\n
A equação T(p)=0 tem solução única p=-q=-(1+x+x^{2}). Essa é a pré-imagem do polinômio nulo.\n
A “imagem” no sentido linear é todo \mathscr{P}_{2} (pois T é sobrejetora).\n
Dicas rápidas para a prova: sempre comece verificando T(0) — se não for 0, já sabe que não é linear. Para obter a matriz (ou coordenadas) calcule T nos vetores da base; para testar bijetividade tente dar uma fórmula explícita para a preimagem (como fiz com p=r-q).
Resposta
T não é linear.\n
A decomposição é T(p)=p+q com q=1+x+x^{2}.\n
Parte linear (na base \{1,x,x^{2}\}): matriz I_{3} e vetor de translação [q]_{B}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.\n \mathrm{Im}(T)=\mathscr{P}_{2} (sobrejetora) e T é injetora, portanto bijetora.\n T^{-1}(r)=r-(1+x+x^{2}).\n
Pré-imagem de 0: p=-(1+x+x^{2}).