T: \mathscr{P}_{2} \rightharrow \mathscr{P}_{2}definida por T\left(a+b x+c x^{2}\right)=(a+1)+ (b+1) x+(c+1) x^{2}

Passo 1

O enunciado dá o operador T:\mathscr{P}_{2}\to\mathscr{P}_{2} definido por
T\bigl(a+bx+cx^{2}\bigr)=(a+1)+(b+1)x+(c+1)x^{2}.
Vou resolver as perguntas mais comuns que surgem para um operador assim (e que provavelmente seu professor quer que você saiba):\n
  • Verificar se T é linear (isto é, satisfaz aditividade e homogeneidade).\n
  • Escrever T como soma de uma parte linear e um vetor de translação (se for o caso) e obter a matriz da parte linear na base padrão \{1,x,x^{2}\}.\n
  • Determinar se T é injetora / sobrejetora (ou seja, bijetora) e, se for bijetora, achar T^{-1}.\n
  • Encontrar a imagem de T e a pré-imagem de 0 (caso faça sentido).\n
    As informações relevantes dadas pelo enunciado são exatamente a fórmula explícita de T: a cada polinômio a+bx+cx^{2} ela adiciona 1 a cada coeficiente.

Passo 2

O que significa ser linear? Vou explicar devagar e com calma, do jeitinho que você precisa para a prova.\n
Uma aplicação L:V\to W entre espaços vetoriais é linear se e somente se, para quaisquer u,v\in V e qualquer escalar \lambda, valem as duas propriedades:\n
  • (Aditividade) L(u+v)=L(u)+L(v).\n
  • (Homogeneidade) L(\lambda u)=\lambda L(u).\n
    Um teste rápido que salva tempo na prova: verificar se L(0)=0. Se L(0)\neq 0, então L não é linear (porque linha-ridade implica L(0)=0). Vou usar esse teste aqui.

Passo 3

Aplicando o teste rápido ao nosso operador: calcule T(0). Aqui 0 é o polinômio 0+0x+0x^{2}. Usando a definição,
T(0+0x+0x^{2})=(0+1)+(0+1)x+(0+1)x^{2}=1+x+x^{2}.
Como T(0)=1+x+x^{2}\neq 0, concluímos imediatamente que T não é linear. Isso já responde a parte da verificação de linearidade.

Passo 4

Embora T não seja linear, dá para escrever T de uma forma bem simples que ajuda muito: note que
T(a+bx+cx^{2})=(a+bx+cx^{2})+(1+x+x^{2}).
Ou seja, T(p)=p+q para todo p\in\mathscr{P}_{2}, onde q:=1+x+x^{2} é um polinômio fixo. Em palavras: T é a aplicação identidade somada a uma translação constante pelo vetor q. Isso é uma aplicação afim (affine), não linear.

Passo 5

Matriz da parte linear e vetor de translação (como fazer na prova):\n
  • A “parte linear” de T (ou seja, a aplicação que atua somando nada) é a identidade \mathrm{Id}:\mathscr{P}_{2}\to\mathscr{P}_{2}, porque T(p)=\mathrm{Id}(p)+q.\n
  • Na base padrão B=\{1,x,x^{2}\}, a matriz da parte linear \mathrm{Id} é a matriz identidade I_{3}. Em notação,
\text{mat}_{B}(\text{parte linear})=I_{3}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • O vetor de translação (as coordenadas de q=1+x+x^{2} na base B) é
[q]_{B}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Uma forma prática que pode aparecer na prova: as imagens dos vetores da base são
T(1)=2+x+x^{2}\quad\Rightarrow\quad [T(1)]_{B}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},
T(x)=1+2x+x^{2}\quad\Rightarrow\quad [T(x)]_{B}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix},
T(x^{2})=1+x+2x^{2}\quad\Rightarrow\quad [T(x^{2})]_{B}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Repare que cada coluna acima é a coluna da identidade mais [q]_{B}.]

Passo 6

Sobrejetividade (como provar direto na prova):\n
Tomemos um polinômio arbitrário r\in\mathscr{P}_{2}. Queremos ver se existe p tal que T(p)=r. Se escrevermos T(p)=p+q, basta escolher
p=r-q.
Então T(p)=p+q=(r-q)+q=r. Assim, para qualquer r existe p com T(p)=r. Logo T é sobrejetora (imagem igual a todo \mathscr{P}_{2}). Em linguagem simples: somando o vetor fixo q deslocamos todo o espaço sobre si mesmo.

Passo 7

Injetividade (prova rápida):\n
Se T(p_{1})=T(p_{2}) então p_{1}+q=p_{2}+q, daí p_{1}=p_{2}. Logo T é injetora. Como T é simultaneamente injetora e sobrejetora, T é bijetora (tem inversa como aplicação entre conjuntos/vetores, embora não seja linear).

Passo 8

A inversa de T (fórmula útil na prova):\n
Como T(p)=p+q, a inversa é simplesmente
T^{-1}(r)=r-q.
Escrevendo q=1+x+x^{2}, temos
T^{-1}(r)=r-(1+x+x^{2}).
Observe que T^{-1} também não é linear (mesmo teste: T^{-1}(0)=-q\neq 0).

Passo 9

Pré-imagem de 0 e observações finais práticas:\n
  • A equação T(p)=0 tem solução única p=-q=-(1+x+x^{2}). Essa é a pré-imagem do polinômio nulo.\n
  • A “imagem” no sentido linear é todo \mathscr{P}_{2} (pois T é sobrejetora).\n
    Dicas rápidas para a prova: sempre comece verificando T(0) — se não for 0, já sabe que não é linear. Para obter a matriz (ou coordenadas) calcule T nos vetores da base; para testar bijetividade tente dar uma fórmula explícita para a preimagem (como fiz com p=r-q).

Resposta

T não é linear.\n
A decomposição é T(p)=p+q com q=1+x+x^{2}.\n
Parte linear (na base \{1,x,x^{2}\}): matriz I_{3} e vetor de translação [q]_{B}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.\n
\mathrm{Im}(T)=\mathscr{P}_{2} (sobrejetora) e T é injetora, portanto bijetora.\n
T^{-1}(r)=r-(1+x+x^{2}).\n
Pré-imagem de 0: p=-(1+x+x^{2}).

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