Determine se
é uma transformação linear.
definida por
definida por
Passo 1
O enunciado dá uma transformação
definida em
(a coleção das matrizes quadradas
com entradas reais) e codomínio
. A definição é
onde
é a entrada na linha
e coluna
da matriz
.
A pergunta é: determinar se é uma transformação linear (ou seja, se
preserva soma e multiplicação por escalar para todas as matrizes e escalares).
A pergunta é: determinar se
Passo 2
Lembrando a definição (é fundamental entender bem!): uma transformação
entre espaços vetoriais é linear se, para todo
e todo escalar
,
e
Aqui
e
. As duas propriedades acima (aditividade e homogeneidade) devem valer para todas as matrizes e todos os escalares. Basta violar uma delas uma única vez para concluir que
não é linear.
Passo 3
Primeiro caso especial:
.
Se , então uma matriz
é simplesmente
e
Se
Nesse caso
é isomorfo a
e
é a aplicação identidade: para quaisquer
,
e escalar
,
e
Portanto, quando
,
é linear.
Passo 4
Agora o caso
. Vou mostrar que a aditividade falha com um contraexemplo simples (uma falha basta para descartar linearidade). Considere
(que já é representativo para todo
). Tome as matrizes
Calcule
,
e
.]
Passo 5
Computando:
Logo
. Agora
é
que tem
e
, então
Portanto
. A aditividade foi violada para essas matrizes, logo
não é linear quando
.]
Passo 6
Breve explicação intuitiva (ajuda a lembrar na prova):
é o produto das entradas diagonais, e produto não é uma operação linear — em geral
não coincide com
por causa dos termos mistos. Por isso, para matrizes maiores que
a propriedade
costuma falhar.
Resposta
Para