Determine se T é uma transformação linear.
T: M_{n n} \rightharrow \mathbb{R}definida por T(A)=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}

Passo 1

O enunciado dá uma transformação T definida em M_{n n} (a coleção das matrizes quadradas n\times n com entradas reais) e codomínio \mathbb{R}. A definição é
T(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{n n},
onde a_{ii} é a entrada na linha i e coluna i da matriz A.
A pergunta é: determinar se T é uma transformação linear (ou seja, se T preserva soma e multiplicação por escalar para todas as matrizes e escalares).

Passo 2

Lembrando a definição (é fundamental entender bem!): uma transformação T: V\to W entre espaços vetoriais é linear se, para todo X,Y\in V e todo escalar c\in\mathbb{R},
T(X+Y)=T(X)+T(Y)
e
T(cX)=c\,T(X).
Aqui V=M_{n n} e W=\mathbb{R}. As duas propriedades acima (adi­tividade e homogeneidade) devem valer para todas as matrizes e todos os escalares. Basta violar uma delas uma única vez para concluir que T não é linear.

Passo 3

Primeiro caso especial: n=1.
Se n=1, então uma matriz A\in M_{1 1} é simplesmente A=(a_{11}) e
T(A)=a_{11}.
Nesse caso M_{1 1} é isomorfo a \mathbb{R} e T é a aplicação identidade: para quaisquer A=(a_{11}), B=(b_{11}) e escalar c,
T(A+B)=T((a_{11}+b_{11}))=a_{11}+b_{11}=T(A)+T(B)
e
T(cA)=T((ca_{11}))=ca_{11}=c\,T(A).
Portanto, quando n=1, T é linear.

Passo 4

Agora o caso n\ge 2. Vou mostrar que a aditividade falha com um contraexemplo simples (uma falha basta para descartar linearidade). Considere n=2 (que já é representativo para todo n\ge2). Tome as matrizes
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Calcule T(A), T(B) e T(A+B).]

Passo 5

Computando:
T(A)=a_{11}a_{22}=1\cdot 0=0,
T(B)=b_{11}b_{22}=0\cdot 1=0.
Logo T(A)+T(B)=0+0=0. Agora A+B é
A+B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix},
que tem (A+B)_{11}=1 e (A+B)_{22}=1, então
T(A+B)=1\cdot 1=1.
Portanto T(A+B)=1\neq 0=T(A)+T(B). A aditividade foi violada para essas matrizes, logo T não é linear quando n\ge2.]

Passo 6

Breve explicação intuitiva (ajuda a lembrar na prova): T é o produto das entradas diagonais, e produto não é uma operação linear — em geral (x_1x_2)+ (y_1y_2) não coincide com (x_1+y_1)(x_2+y_2) por causa dos termos mistos. Por isso, para matrizes maiores que 1\times1 a propriedade T(A+B)=T(A)+T(B) costuma falhar.

Resposta

T é linear somente quando n=1.
Para n\ge 2, T não é linear.

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