Se 
  é uma transformação linear tal que 
  e 
Observem que os vetores 
  formam uma base (ortogonal) de 
 . Determinar 
  (núcleo de 
  ) e uma base para esse subespaço.
Observem que os vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma transformação linear 
  definida por três vetores que formam uma base ortogonal de 
 . Estamos querendo descobrir o núcleo de 
 , ou seja, todos os vetores em 
  que 
  transforma no vetor zero em 
 . Para isso, vamos usar a teoria das transformações lineares e propriedades de bases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear 
 , denotado por 
 , é o conjunto de todos os vetores 
  em 
  tais que 
 . Em termos matemáticos:
Passo 3
Sabemos que 
  é uma base ortogonal de 
 . Isso significa que qualquer vetor 
  pode ser escrito como combinação linear desses vetores base:
onde 
  são escalares.
Passo 4
Aplicando a transformação 
  em 
 , temos:
Substituindo os valores dados:
Passo 5
Para que 
  esteja no núcleo de 
 , precisamos que 
 . Então, igualamos as componentes:
Passo 6
Da primeira equação, 
  implica que 
 .
Substituindo 
  na segunda equação:
Passo 7
Resolvendo para 
 :
Então, 
  é livre para assumir qualquer valor real. Vamos chamar 
 , onde 
  é um parâmetro real.
Passo 8
Substituindo 
  e 
  na expressão de 
 :
Vamos simplificar:
Passo 9
Fatorando 
 :
Isso mostra que todo vetor no núcleo de 
  é um múltiplo escalar de 
 .
Resposta
O núcleo de 
  é 
 . Uma base para 
  é o vetor 
 .