7 Se
for a temperatura num ponto (
) sobre uma placa delgada de metal no plano
, então as curvas de nível de
são chamadas de curvas isotérmicas, pois todos os pontos sobre cada uma dessas curvas possuem a mesma temperatura, suponha que uma placa ocupa o primeiro quadrante e
.
(a) Esboce as curvas isotérmicas sobre as quais
e
.
(b) Uma formiga, inicialmente no ponto
, anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de sua trajetória permanece constante. Qual é essa trajetória, e qual é a temperatura correspondente?
(a) Esboce as curvas isotérmicas sobre as quais
(b) Uma formiga, inicialmente no ponto
Passo 1
O enunciado define a temperatura em cada ponto
do primeiro quadrante por
(a) Pede as curvas isotérmicas para
,
e
.
(b) Uma formiga parte de e mantém
constante: qual é sua trajetória e essa temperatura?
(b) Uma formiga parte de
Passo 2
Curvas isotérmicas são os conjuntos de pontos onde
é constante. Aqui
se torna
ou seja
Cada valor de
gera uma hipérbole no primeiro quadrante.
Passo 3
Para
as curvas são
respectivamente. No esboço notamos que todas passam pelo decaimento hiperbólico: por exemplo, para
a curva passa em
, para
em
e
, e para
em
e
.
Passo 4
No ponto inicial
a temperatura vale
Manter
constante significa seguir a curva isotérmica de
, isto é
ou
Resposta
(a) As curvas isotérmicas são as hipérboles
(b) A trajetória da formiga é a hipérbole
e a temperatura constante nela é
.