7 Se T(x, y) for a temperatura num ponto ( x, y ) sobre uma placa delgada de metal no plano x y, então as curvas de nível de T são chamadas de curvas isotérmicas, pois todos os pontos sobre cada uma dessas curvas possuem a mesma temperatura, suponha que uma placa ocupa o primeiro quadrante e T(x, y)=x y.
(a) Esboce as curvas isotérmicas sobre as quais T=1, T=2 e T=3.
(b) Uma formiga, inicialmente no ponto (1,4), anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de sua trajetória permanece constante. Qual é essa trajetória, e qual é a temperatura correspondente?

Passo 1

O enunciado define a temperatura em cada ponto (x,y) do primeiro quadrante por
T(x,y)=x\,y.
(a) Pede as curvas isotérmicas para T=1, T=2 e T=3.
(b) Uma formiga parte de (1,4) e mantém T constante: qual é sua trajetória e essa temperatura?

Passo 2

Curvas isotérmicas são os conjuntos de pontos onde T(x,y)=c é constante. Aqui
T(x,y)=x\,y=c
se torna
x\,y=c
ou seja
y=\frac{c}{x}.
Cada valor de c>0 gera uma hipérbole no primeiro quadrante.

Passo 3

Para c=1,2,3 as curvas são
y=\frac{1}{x},\quad y=\frac{2}{x},\quad y=\frac{3}{x},
respectivamente. No esboço notamos que todas passam pelo decaimento hiperbólico: por exemplo, para c=1 a curva passa em (1,1), para c=2 em (1,2) e (2,1), e para c=3 em (1,3) e (3,1).

Passo 4

No ponto inicial (1,4) a temperatura vale
T(1,4)=1\cdot4=4.
Manter T constante significa seguir a curva isotérmica de c=4, isto é
x\,y=4
ou
y=\frac{4}{x}.

Resposta

(a) As curvas isotérmicas são as hipérboles
y=\frac{1}{x},\quad y=\frac{2}{x},\quad y=\frac{3}{x}.
(b) A trajetória da formiga é a hipérbole
y=\frac{4}{x},
e a temperatura constante nela é T=4.

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