A tabela abaixo apresenta as vazões médias máximas anuais registradas na estação fluviométrica de Alto Pongal. A partir da aplicação da distribuição probabilística de Gumbel, estimar as vazões máximas associadas aos períodos de retorno de 50 e 100 anos.
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|}
\hline Ano & Data & Máximas ( \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ) & Ano & Data & Máximas ( \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ) \
\hline 1986 & 24/01/1986 & 65,3 & 1996 & 25/01/1996 & 109 \
\hline 1987 & 24/11/1987 & 64,3 & 1997 & 12/10/1997 & 42,83 \
\hline 1988 & 12/11/1988 & 61,7 & 1998 & 13/11/1998 & 52,96 \
\hline 1989 & 07/11/1989 & 60,44 & 1999 & 01/09/1999 & 50,06 \
\hline 1990 & 02/02/1990 & 74,37 & 2000 & 01/08/2001 & 70,51 \
\hline 1991 & 01/03/1991 & 54,15 & 2001 & 18/02/2002 & 52,6 \
\hline 1992 & 16/11/1992 & 60,95 & 2002 & 03/08/2003 & 92,85 \
\hline 1993 & 21/03/1993 & 33,1 & 2003 & 03/10/2004 & 74,9 \
\hline 1994 & 12/11/1994 & 42,4 & 2004 & 01/04/2005 & 50,7 \
\hline 1995 & 16/12/1995 & 144 & 2005 & 28/12/2006 & 65,13 \
\hline

Passo 1

O enunciado fornece as vazões máximas anuais registradas na estação de Alto Pongal de 1986 a 2005 (total de n=20 valores) e pede para ajustar a distribuição de Gumbel e estimar as vazões correspondentes aos períodos de retorno de 50 e 100 anos. Vamos precisar:
  1. Calcular a média amostral \bar{x} e o desvio-padrão amostral s.
  2. Usar as relações da distribuição de Gumbel
\mathrm{E}[X]=\mu+\gamma\,\beta, \quad \mathrm{SD}[X]=\frac{\pi}{\sqrt{6}}\,\beta,
para estimar os parâmetros \mu e \beta.
  1. Aplicar a fórmula do quantil de ordem F=1-1/T Q_T \;=\;\mu+\beta\;y_T, \quad y_T=-\ln\bigl(-\ln(1-1/T)\bigr),
para T=50 e T=100 anos.

Passo 2

Calcular \bar{x} e s. Dos dados obtivemos
\sum_{i=1}^{20}x_i =1322,25, \quad \sum_{i=1}^{20}x_i^2 =99472,99.
A média amostral é
\bar{x} =\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}x_i =66{,}1125.
O somatório dos quadrados dos desvios é
\sum_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x})^2 =\sum x_i^2 -20\,\bar{x}^2 =99472{,}99-20\,(66{,}1125)^2 =12055{,}74.
Logo o desvio-padrão amostral é
s =\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{20}(x_i-\bar{x})^2} =\sqrt{\frac{12055{,}74}{19}} \approx25{,}19.

Passo 3

Estimar \beta e \mu pela distribuição de Gumbel, em que \gamma\approx0{,}5772 é a constante de Euler–Mascheroni:
\beta =\frac{s\;\sqrt{6}}{\pi} \approx25{,}19\;\frac{2{,}4495}{3{,}1416} \approx19{,}64,
\mu =\bar{x}-\gamma\,\beta \approx66{,}1125-0{,}5772\times19{,}64 \approx54{,}77.

Passo 4

Para cada período de retorno T, o quantil Q_T é dado por
y_T =-\ln\bigl(-\ln(1-1/T)\bigr), \quad Q_T=\mu+\beta\,y_T.
Calculamos
y_{50} =-\ln\bigl(-\ln(1-1/50)\bigr) \approx3{,}8986, \quad Q_{50} \approx54{,}77+19{,}64\times3{,}8986 \approx131{,}3,
y_{100} =-\ln\bigl(-\ln(1-1/100)\bigr) \approx4{,}598, \quad Q_{100} \approx54{,}77+19{,}64\times4{,}598 \approx145{,}1.

Resposta

A vazão máxima estimada para período de retorno de 50 anos é aproximadamente 131{,}3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} e para 100 anos é aproximadamente 145{,}1\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

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