A tabela abaixo mostra dados da população de uma cidade para os anos de 1980, 1990 e 2000. Faça uma projeção desta população para o ano de 2020 utilizando os métodos algébrico, geométrico e a curva logística.
ano P (hab)
1980 17487
1990 35792
2000 59185

Passo 1

O enunciado dá a população da cidade em três anos e pede uma projeção para 2020 por três métodos: algébrico (linear), geométrico (exponencial) e curva logística. Dados fornecidos (vou padronizar o tempo em anos desde 1980, para facilitar):
\begin{array}{ll} \text{ano} & P\\ (\text{hab})\\[4pt] 1980\\ (t=0) & P(0)=17487\\[4pt] 1990\\ (t=10) & P(10)=35792\\[4pt] 2000\\ (t=20) & P(20)=59185 \end{array}
O que precisamos dar no final: projeção da população para 2020, isto é para t=40, usando cada um dos três métodos solicitados.]

Passo 2

Método algébrico (modelo linear por quadrados mínimos). Ideia e fórmula:
  • Queremos um modelo linear do tipo \;P(t)=a t + b\;.
  • Para usar toda a informação disponível de forma equilibrada, ajustamos a e b por regressão linear (mínimos quadrados) aplicando as fórmulas clássicas:
a=\frac{\sum (t_i-\bar t)(P_i-\bar P)}{\sum (t_i-\bar t)^2},\qquad b=\bar P - a\bar t,
onde \bar t e \bar P são as médias dos tempos e das populações dadas.
Cálculo passo a passo:
  • Médias:
\bar t=\frac{0+10+20}{3}=10,\qquad \bar P=\frac{17487+35792+59185}{3}=\frac{112464}{3}=37488.
  • Numerador da inclinação:
\sum (t_i-\bar t)(P_i-\bar P)=(-10)(17487-37488)+0(35792-37488)+10(59185-37488).
Calcule cada termo:
(-10)(-20001)=200010,\qquad 0\cdot(-1696)=0,\qquad 10\cdot21697=216970.
Somando:
\sum (t_i-\bar t)(P_i-\bar P)=200010+0+216970=416980.
  • Denominador:
\sum (t_i-\bar t)^2 = (-10)^2+0^2+10^2 =100+0+100=200.
  • Portanto a inclinação:
a=\frac{416980}{200}=2084{,}9\quad(\text{hab por ano}).
  • Intercepto:
b=\bar P - a\bar t =37488 - 2084{,}9\cdot 10 =37488 - 20849 =16639.
Logo o modelo linear ajustado é
P(t)=2084{,}9\,t + 16639.
Projeção para 2020 ( t=40):
P(40)=2084{,}9\cdot 40 +16639 =83396 +16639 =100035.
Interpretação curta: este modelo assume crescimento aproximadamente constante em termos de habitantes por ano (adição aritmética média), e usamos todos os três pontos para obter a melhor reta que “encaixa” os dados.

Passo 3

Método geométrico (modelo exponencial). Ideia e fórmula:
  • Um modelo geométrico/discreto por década é natural aqui, porque os dados estão em intervalos de 10 anos. Usamos um modelo por décadas \;P(d)=P_0\,r^{d}\;, onde d é o número de décadas desde 1980 (ou seja d=t/10).
  • Temos d=0,1,2 com P(0)=17487, P(1)=35792, P(2)=59185.
  • Vamos assumir que o fator por década r é o mesmo em média; uma estimativa natural de r a partir dos dois crescimentos observados é o valor geométrico médio, que, para três pontos (duas razões entre décadas), fica:
r=\sqrt{\frac{P(2)}{P(0)}}=\sqrt{\frac{59185}{17487}}.
Observação: escolhemos a média geométrica porque estamos modelando crescimento multiplicativo por década; isso corresponde a ajustar uma reta em escala logaritmica (regressão linear em \ln P com d como variável), e para 3 pontos equidistantes isso dá exatamente a fórmula acima para o fator por década médio.
Cálculo:
r=\sqrt{\frac{59185}{17487}}.
Para projetar a 2020 temos d=4 (quatro décadas desde 1980), então
P(4)=P(0)\,r^{4}=17487\left(\sqrt{\frac{59185}{17487}}\right)^{4} =17487\left(\frac{59185}{17487}\right)^{2}=\frac{59185^{2}}{17487}.
Agora calcule numericamente:
59185^{2}=3\,502\,864\,225,
P(4)=\frac{3\,502\,864\,225}{17\,487}\approx 200312{,}47.
Arredondando para número inteiro de habitantes:
P(40)\approx 200312.
Interpretação: o modelo geométrico assume crescimento proporcional (multiplicativo) por década, e dá uma previsão bem maior que o linear porque usa crescimento percentual médio.

Passo 4

Curva logística. Intuição e fórmula:
  • O modelo logístico é apropriado quando o crescimento é rápido no início e depois tende a um limite máximo (capacidade de suporte) K. A forma padrão contínua (em anos) é
P(t)=\frac{K}{1 + A e^{-r t}},
com parâmetros K>0 (capacidade), A>0 (relacionado à condição inicial) e r>0 (taxa intrínseca). Usamos os três pontos para determinar K,A,r.
Transformação útil: para o modelo logístico vale
\frac{K}{P(t)} - 1 = A e^{-r t}.
Defina y(t)=\dfrac{K}{P(t)}-1. Então y(t)=A e^{-rt}. Com três pontos ( t=0,10,20) temos:
y(0)=\frac{K}{17487}-1=A,
y(10)=\frac{K}{35792}-1=A e^{-10r},
y(20)=\frac{K}{59185}-1=A e^{-20r}.
Dividindo consecutivamente obtemos uma relação que elimina A e r:
\frac{y(10)}{y(0)}=e^{-10r},\qquad \frac{y(20)}{y(10)}=e^{-10r}.
Isto implica
\frac{K/35792 -1}{K/17487 -1}=\frac{K/59185 -1}{K/35792 -1}.
Resolver essa equação para K conduz (após manipulação algébrica) a uma equação linear em K porque o termo constante se cancela; mostrando os passos algébricos:
\frac{(K-35792)^2}{35792^2}\cdot(17487\cdot59185)=\frac{(K-17487)(K-59185)}{17487\cdot59185}\cdot 35792^2,
que ao expandir e simplificar reduz a
K\Big((ac-b^2)K + \big( -2acb + b^2(a+c)\big)\Big)=0,
onde usei a=17487,\\ b=35792,\\ c=59185. A solução não-trivial ( K\neq0 ) é
K=\frac{2abc - b^2(a+c)}{ac - b^2}.
Agora substituímos os números:
a=17487,\quad b=35792,\quad c=59185.
Cálculo (passos numéricos mostrados resumidamente):
ac=17487\cdot59185 =1\,034\,968\,095,
b^2=35792^2=1\,281\,067\,264,
ac-b^2=-246\,099\,169,
2acb - b^2(a+c)= -24\,134\,833\,152\,928\quad(\text{número negativo, como esperado}),ú
portanto
K=\frac{-24\,134\,833\,152\,928}{-246\,099\,169}\approx 98\,073{,}54.
Assim obtemos K\approx 98\,073{,}54 habitantes (capacidade de suporte estimada).
Agora encontramos A e r:
A=\frac{K}{P(0)}-1=\frac{98\,073{,}5435}{17487}-1\approx 4{,}608608.
Para r usamos a razão entre y(10) e y(0):
e^{-10r}=\frac{K/35792 -1}{K/17487 -1}\approx\frac{1{,}740296}{4{,}608608}\approx 0{,}377555,
logo
-10r=\ln(0{,}377555)\quad\Rightarrow\quad r\approx 0{,}0974537\\ \text{(por ano)}.
Finalmente projetamos para t=40:
P(40)=\frac{K}{1 + A e^{-40 r}}.
Calculemos numericamente:
e^{-40 r}=e^{-40\cdot 0{,}0974537}=e^{-3{,}89815}\approx 0{,}02029,
A e^{-40 r}\approx 4{,}608608\cdot 0{,}02029\approx 0{,}09356,
1+ A e^{-40 r}\approx 1{,}09356,
P(40)\approx \frac{98\,073{,}54}{1{,}09356}\approx 89\,7\!00\\ \text{(aproximadamente)}.
Fazendo a divisão com mais precisão obtemos
P(40)\approx 89\,740\\ \text{habitantes (aprox.)}.
Interpretação: o modelo logístico sugere que a população tende a um teto em torno de K\approx 98{,}074 hab; em 2020 a população estaria já bastante próxima desse teto, cerca de 89{,}7 mil hab.

Resposta

Linear (algébrico, regressão): P(2020)\approx 100035 hab.
Geométrico (exponencial por década): P(2020)\approx 200312 hab.
Logístico: P(2020)\approx 89740 hab.

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