A tabela abaixo mostra dados da população de uma cidade para os anos de 1980, 1990 e 2000. Faça uma projeção desta população para o ano de 2020 utilizando os métodos algébrico, geométrico e a curva logística.
ano
P (hab)
1980
17487
1990
35792
2000
59185
| ano | P (hab) |
| 1980 | 17487 |
| 1990 | 35792 |
| 2000 | 59185 |
Passo 1
O enunciado dá a população da cidade em três anos e pede uma projeção para 2020 por três métodos: algébrico (linear), geométrico (exponencial) e curva logística. Dados fornecidos (vou padronizar o tempo em anos desde 1980, para facilitar):
O que precisamos dar no final: projeção da população para 2020, isto é para
, usando cada um dos três métodos solicitados.]
Passo 2
Método algébrico (modelo linear por quadrados mínimos). Ideia e fórmula:
- Queremos um modelo linear do tipo
. - Para usar toda a informação disponível de forma equilibrada, ajustamos
e por regressão linear (mínimos quadrados) aplicando as fórmulas clássicas:
onde
e
são as médias dos tempos e das populações dadas.
Cálculo passo a passo:
Cálculo passo a passo:
- Médias:
- Numerador da inclinação:
Calcule cada termo:
Somando:
- Denominador:
- Portanto a inclinação:
- Intercepto:
Logo o modelo linear ajustado é
Projeção para 2020 (
):
Interpretação curta: este modelo assume crescimento aproximadamente constante em termos de habitantes por ano (adição aritmética média), e usamos todos os três pontos para obter a melhor reta que “encaixa” os dados.
Passo 3
Método geométrico (modelo exponencial). Ideia e fórmula:
- Um modelo geométrico/discreto por década é natural aqui, porque os dados estão em intervalos de 10 anos. Usamos um modelo por décadas
, onde é o número de décadas desde 1980 (ou seja ). - Temos
com , , . - Vamos assumir que o fator por década
é o mesmo em média; uma estimativa natural de a partir dos dois crescimentos observados é o valor geométrico médio, que, para três pontos (duas razões entre décadas), fica:
Observação: escolhemos a média geométrica porque estamos modelando crescimento multiplicativo por década; isso corresponde a ajustar uma reta em escala logaritmica (regressão linear em
com
como variável), e para 3 pontos equidistantes isso dá exatamente a fórmula acima para o fator por década médio.
Cálculo:
Cálculo:
Para projetar a 2020 temos
(quatro décadas desde 1980), então
Agora calcule numericamente:
Arredondando para número inteiro de habitantes:
Interpretação: o modelo geométrico assume crescimento proporcional (multiplicativo) por década, e dá uma previsão bem maior que o linear porque usa crescimento percentual médio.
Passo 4
Curva logística. Intuição e fórmula:
- O modelo logístico é apropriado quando o crescimento é rápido no início e depois tende a um limite máximo (capacidade de suporte)
. A forma padrão contínua (em anos) é
com parâmetros
(capacidade),
(relacionado à condição inicial) e
(taxa intrínseca). Usamos os três pontos para determinar
.
Transformação útil: para o modelo logístico vale
Transformação útil: para o modelo logístico vale
Defina
. Então
. Com três pontos (
) temos:
Dividindo consecutivamente obtemos uma relação que elimina
e
:
Isto implica
Resolver essa equação para
conduz (após manipulação algébrica) a uma equação linear em
porque o termo constante se cancela; mostrando os passos algébricos:
que ao expandir e simplificar reduz a
onde usei
. A solução não-trivial (
) é
Agora substituímos os números:
Cálculo (passos numéricos mostrados resumidamente):
portanto
Assim obtemos
habitantes (capacidade de suporte estimada).
Agora encontramos e
:
Agora encontramos
Para
usamos a razão entre
e
:
logo
Finalmente projetamos para
:
Calculemos numericamente:
Fazendo a divisão com mais precisão obtemos
Interpretação: o modelo logístico sugere que a população tende a um teto em torno de
hab; em 2020 a população estaria já bastante próxima desse teto, cerca de
mil hab.
Resposta
Linear (algébrico, regressão):
hab.
Geométrico (exponencial por década): hab.
Logístico: hab.
Geométrico (exponencial por década):
Logístico: