Na tabela abaixo são apresentados os valores de fração em mol, x, dos principais constituintes do ar expirado por um indivíduo e do ar atmosférico seco, a 37^{\circ} \mathrm{C} e 1,00 \mathrm{~atm}. Considerar o comportamento ideal dos gases e faça o que se pede.
Constituinte gasoso Fração em mol (\mathrm{x})
ar expirado ar atmosférico seco
\mathrm{N}_{2} 0,7420 0,7808
\mathrm{O}_{2} 0,1520 0,2095
Ar 0,0090 0,0093
\mathrm{CO}_{2} 0,0380 0,00040
\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} 0,0590 0,0

Dados:

\mathrm{M}\left(\mathrm{N}_{2}\right)=28,01 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1};
\mathrm{M}\left(\mathrm{O}_{2}\right)=32,00 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1};
\mathrm{M}(\mathrm{Ar})=39,95 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1};
\mathrm{M}\left(\mathrm{CO}_{2}\right)=44,01 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1};
\mathrm{M}\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)=18,02 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1};
\mathrm{R}=0,0821 \mathrm{~atm} \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1};
\mathrm{T}(\mathrm{K})=\mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+273,15.
Calcule a densidade do ar expirado, em \mathrm{g} \mathrm{L}^{-1}.

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado.
  • Pede-se: calcular a densidade do ar expirado, em \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}, nas condições \,T=37^\circ\mathrm{C} e P=1{,}00\\ \mathrm{atm}, assumindo comportamento ideal dos gases.
  • Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela do enunciado):
    • Frações molares no ar expirado:
      • \;x(\mathrm{N}_2)=0{,}7420
      • \;x(\mathrm{O}_2)=0{,}1520
      • \;x(\mathrm{Ar})=0{,}0090
      • \;x(\mathrm{CO}_2)=0{,}0380
      • \;x(\mathrm{H_2O})=0{,}0590
  • Massas molares (pego da seção “Dados”):
    • \;M(\mathrm{N}_2)=28{,}01\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}
    • \;M(\mathrm{O}_2)=32{,}00\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}
    • \;M(\mathrm{Ar})=39{,}95\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}
    • \;M(\mathrm{CO}_2)=44{,}01\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}
    • \;M(\mathrm{H_2O})=18{,}02\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}
  • Constantes:
    • \;R=0{,}0821\\ \mathrm{atm}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}
    • \;T=37+273{,}15=310{,}15\\ \mathrm{K}
    • \;P=1{,}00\\ \mathrm{atm}

Passo 2

Checagem rápida: as frações molares somam 1 (para garantir consistência)
0{,}7420+0{,}1520+0{,}0090+0{,}0380+0{,}0590=1{,}0000.
Tudo certo — estamos com uma mistura completa.

Passo 3

Princípio usado e fórmula para densidade de uma mistura gasosa ideal (aulas rápidas).
  • Para um gás ideal puro, a equação dos gases ideais é
PV = nRT,
onde P é pressão, V volume, n número de mols, R constante dos gases e T temperatura absoluta.
  • A densidade \rho (massa por volume) de um gás puro pode ser escrita em função da massa molar M (em \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}) como
\rho = \frac{\text{massa}}{V}=\frac{nM}{V}.
Usando n/V = P/(RT) obtemos a fórmula prática
\rho = \frac{P\,M}{R\,T}.
  • Para uma mistura de gases (com comportamento ideal), define-se a massa molar média da mistura \overline{M} como
\overline{M}=\sum_i x_i M_i,
onde x_i é a fração molar do componente i e M_i sua massa molar. A mesma fórmula para densidade vale trocando M por \overline{M}:
\rho = \frac{P\,\overline{M}}{R\,T}.
  • Unidade final: com P em \mathrm{atm}, R dado em \mathrm{atm}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}, T em \mathrm{K} e \overline{M} em \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}, o resultado \rho sai em \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1} — tudo coerente.

Passo 4

Calcular a massa molar média \overline{M}=\sum x_i M_i fazendo cada contribuição explicitamente.
  • Contribuição de \mathrm{N}_2:
x(\mathrm{N}_2)M(\mathrm{N}_2)=0{,}7420\times28{,}01=20{,}78342\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Contribuição de \mathrm{O}_2:
0{,}1520\times32{,}00=4{,}86400\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Contribuição de \mathrm{Ar}:
0{,}0090\times39{,}95=0{,}35955\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Contribuição de \mathrm{CO}_2:
0{,}0380\times44{,}01=1{,}67238\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Contribuição de \mathrm{H_2O}:
0{,}0590\times18{,}02=1{,}06318\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 5

Somar as contribuições para obter \overline{M}.
\begin{aligned} \overline{M} &= 20{,}78342 + 4{,}86400 + 0{,}35955 + 1{,}67238 + 1{,}06318\\\ &= 28{,}74253\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}. \end{aligned}
(Arredondamento intermediário preservado; \overline{M}\approx28{,}7425\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.)

Passo 6

Calcular R\,T e aplicar a fórmula da densidade.
  • Produto R\,T:
R\,T = 0{,}0821\times310{,}15 = 25{,}463315\\ \mathrm{atm}\,\mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Usando \rho=\dfrac{P\,\overline{M}}{R\,T} com P=1{,}00\\ \mathrm{atm}:
\rho = \frac{1{,}00\times28{,}74253}{25{,}463315}.

Passo 7

Efetuar a divisão e apresentar o resultado com unidades.
\rho = \frac{28{,}74253}{25{,}463315}\approx1{,}12886\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}.
Arredondando de forma razoável (três casas significativas, consistente com dados), fica \rho\approx1{,}13\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}.

Resposta

\rho=1{,}13\\ \mathrm{g}\,\mathrm{L}^{-1}

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