A tabela de distribuição a seguir apresenta o número de peças defeituosas em uma produção de determinado produto
Table 1: Tabela 7: Peças defeituosas em produção de determinado produto
\captionsetup{labelformat=empty}
\mathbf{N} \boldsymbol{.}^{\mathbf{0}} de defeitos \mathbf{N} \boldsymbol{.}^{\mathbf{0}} de peças
0 5
1 10
2 18
3 12
4 5
Total 50
Calcule:
a) a média
b) a mediana

Passo 1

O enunciado dá a distribuição do número de defeitos por peça e pede:
a) a média;
b) a mediana.
Informações fornecidas (peguei estes números da tabela):
  • Valores de defeitos x_i: 0,\;1,\;2,\;3,\;4.
  • Frequências absolutas f_i: 5,\;10,\;18,\;12,\;5.
  • Total de peças (soma das frequências): n=\sum f_i = 50.

Passo 2

Entendendo o que é a média em uma tabela de frequências: a média é a média ponderada dos valores, isto é, cada valor x_i é multiplicado pela sua frequência f_i e depois dividimos pela soma das frequências. A fórmula é
\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i f_i}{\sum_{i} f_i}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \bar{x} é a média amostral;
  • x_i são os possíveis números de defeitos ( 0,1,2,3,4);
  • f_i são as frequências correspondentes;
  • \sum_i indica soma sobre todas as categorias.
Calculemos os produtos x_i f_i (peguei os x_i e f_i da tabela):
0\cdot5=0,\quad 1\cdot10=10,\quad 2\cdot18=36,\quad 3\cdot12=36,\quad 4\cdot5=20.
Somando:
\sum_i x_i f_i = 0+10+36+36+20 = 102.
Agora a média:
\bar{x}=\frac{102}{50}=2,04.

Passo 3

Entendendo o que é a mediana em uma amostra com distribuição por frequência: a mediana é o valor que divide a amostra ordenada em duas metades com o mesmo número de observações. Para uma amostra com n observações:
  • se n é ímpar, a mediana é a observação na posição \dfrac{n+1}{2};
  • se n é par, a mediana é a média aritmética das observações nas posições \dfrac{n}{2} e \dfrac{n}{2}+1.
Aqui n=50 (par), então precisamos das posições 25 e 26.

Passo 4

Vamos construir as frequências acumuladas para localizar as posições 25 e 26. Peguei as frequências da tabela e somo cumulativamente:
F(0)=5,\quad F(1)=5+10=15,\quad F(2)=15+18=33,
F(3)=33+12=45,\quad F(4)=45+5=50.
Interpretando: as observações de posição 1 até 5 correspondem a x=0; as de 6 até 15 correspondem a x=1; as de 16 até 33 correspondem a x=2; e assim por diante.
As posições 25 e 26 estão entre 16 e 33, ou seja, pertencem à categoria x=2. Como ambas as observações (25ª e 26ª) valem 2, a mediana é
\text{mediana}=2.

Resposta

a) \bar{x}=2,04
b) \text{mediana}=2

Exercícios relacionados